3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes
81
d’Uzawa o` u les composantes de cette ´
equation sont r´ esolues s´ epar´ ement. Pour
r → ∞ , alors le champ est bien `
a divergence nulle mais ne satisfait pas les ´
equations
de Navier-Stokes. Lorsque r est d’ordre un ou plus exactement lorsque r est d’ordre
de grandeur de ρ V 0 /δ t (o` u V 0 est l’ordre de grandeur de la vitesse et δ t le pas
de temps), les deux conditions sont quasiment v´ erifi´ ees `
a la fois. La satisfaction
des deux contraintes n’est possible qu’associ´ ee `
a un processus it´ eratif interne au
lagrangien augment´ e. Telle quelle cette m´ ethode est robuste et efficace mais conduit `
a une convergence faible sur l’incompressibilit´ e et `
a des temps de calcul prohibitifs pour des approximations ´
elev´ ees. L’objectif de cette pr´ esentation n’´ etant
pas d’expliquer le lagrangien augment´ e et dans un souci de clart´ e nous ne ferons
pas apparaˆ ıtre les sous it´ erations ( voir la r´ ef´ erence [9]).
La technique propos´ ee consiste `
a garder la formulation implicite du lagrangien
augment´ e comme ´
etape de pr´ ediction; une seule it´ eration du lagrangien augment´ e
repr´ esente en effet une bonne approximation de la solution `
a divergence non nulle.
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V ∗ − V n
Δt
+ V
n · ∇V
∗
�
− ∇ ·
� μ
� ∇V
∗
+ ∇
t
V
∗
��
− r ∇ (∇ · V
∗
) = −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
∗
Suivant la raideur du probl` eme physique pos´ e, l’augmentation du param` etre r
permettra de converger vers la solution avec des pas de temps raisonnables. Dans
notre m´ ethode, `
a la diff´ erence des m´ ethodes de projection classiques, seule la correction de la vitesse V � sera prise en compte pour calculer le champ `
a divergence
nulle, V n+1 sera calcul´ ee directement :
V
n+1
= V
∗
+ V
�
L’introduction de ce changement de variable dans le syst` eme d’´ equations de
Navier-Stokes conduit, apr` es diff´ erence entre les deux syst` emes d’´ equations portant
sur V n+1 et sur V ∗ , et en prenant r → ∞, `
a la forme finale de l’´ equation correspondant `
a l’´ etape de correction :
∇
� ∇ · V
n+1
� = −∇ (∇ · V
∗
)
La divergence du champ de vitesse V � qui est la solution de cette ´
equation n’est
d´ efinie qu’` a une constante additive pr` es. Cette constante est maintenue `
a z´ ero en
assurant ∇ · V ∗ = 0 en un point de Γ et ∇ · V � = 0 en ce mˆ eme point.
Cette formulation est ´
equivalente `
a V = P ⊥
H V ∗ o` u H = H(div, Ω ) = {V ∈ L 2
Ω /∇ ·
V = 0} est le sous-espace de L 2 `
a divergence nulle et P ⊥
H la projection orthogonale
de L 2 sur H.
Les champs de vitesses V n+1 et V ∗ satisfont tous deux les conditions aux limites
physiques du probl` eme. Nous pouvons en d´ eduire les conditions aux limites sur V �
qui sont des conditions aux limites homog` enes.
Avantages et inconv´ enients de la m´ ethode
equations de Navier-Stokes
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d’Uzawa o` u les composantes de cette ´
equation sont r´ esolues s´ epar´ ement. Pour
r → ∞ , alors le champ est bien `
a divergence nulle mais ne satisfait pas les ´
equations
de Navier-Stokes. Lorsque r est d’ordre un ou plus exactement lorsque r est d’ordre
de grandeur de ρ V 0 /δ t (o` u V 0 est l’ordre de grandeur de la vitesse et δ t le pas
de temps), les deux conditions sont quasiment v´ erifi´ ees `
a la fois. La satisfaction
des deux contraintes n’est possible qu’associ´ ee `
a un processus it´ eratif interne au
lagrangien augment´ e. Telle quelle cette m´ ethode est robuste et efficace mais conduit `
a une convergence faible sur l’incompressibilit´ e et `
a des temps de calcul prohibitifs pour des approximations ´
elev´ ees. L’objectif de cette pr´ esentation n’´ etant
pas d’expliquer le lagrangien augment´ e et dans un souci de clart´ e nous ne ferons
pas apparaˆ ıtre les sous it´ erations ( voir la r´ ef´ erence [9]).
La technique propos´ ee consiste `
a garder la formulation implicite du lagrangien
augment´ e comme ´
etape de pr´ ediction; une seule it´ eration du lagrangien augment´ e
repr´ esente en effet une bonne approximation de la solution `
a divergence non nulle.
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V ∗ − V n
Δt
+ V
n · ∇V
∗
�
− ∇ ·
� μ
� ∇V
∗
+ ∇
t
V
∗
��
− r ∇ (∇ · V
∗
) = −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
∗
Suivant la raideur du probl` eme physique pos´ e, l’augmentation du param` etre r
permettra de converger vers la solution avec des pas de temps raisonnables. Dans
notre m´ ethode, `
a la diff´ erence des m´ ethodes de projection classiques, seule la correction de la vitesse V � sera prise en compte pour calculer le champ `
a divergence
nulle, V n+1 sera calcul´ ee directement :
V
n+1
= V
∗
+ V
�
L’introduction de ce changement de variable dans le syst` eme d’´ equations de
Navier-Stokes conduit, apr` es diff´ erence entre les deux syst` emes d’´ equations portant
sur V n+1 et sur V ∗ , et en prenant r → ∞, `
a la forme finale de l’´ equation correspondant `
a l’´ etape de correction :
∇
� ∇ · V
n+1
� = −∇ (∇ · V
∗
)
La divergence du champ de vitesse V � qui est la solution de cette ´
equation n’est
d´ efinie qu’` a une constante additive pr` es. Cette constante est maintenue `
a z´ ero en
assurant ∇ · V ∗ = 0 en un point de Γ et ∇ · V � = 0 en ce mˆ eme point.
Cette formulation est ´
equivalente `
a V = P ⊥
H V ∗ o` u H = H(div, Ω ) = {V ∈ L 2
Ω /∇ ·
V = 0} est le sous-espace de L 2 `
a divergence nulle et P ⊥
H la projection orthogonale
de L 2 sur H.
Les champs de vitesses V n+1 et V ∗ satisfont tous deux les conditions aux limites
physiques du probl` eme. Nous pouvons en d´ eduire les conditions aux limites sur V �
qui sont des conditions aux limites homog` enes.
Avantages et inconv´ enients de la m´ ethode