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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
riger les vitesses. Plusieurs ´
etapes de correction comme pour PISO sont utilis´ ees
pour obtenir un champ de vitesse `
a divergence nulle.
Les m´ ethodes de projection permettent de garder un formalisme math´ ematique
plus rigoureux et l’algorithme se d´ ecompose en deux suites d’approximations de
la vitesse, la seconde consistant `
a projeter le champ de vitesse issu de la premi` ere
approximation sur un espace fonctionnel ad´ equat (` a divergence nulle).
Ces deux types de m´ ethodes ne permettent pas d’assurer la consistance des conditions aux limites sur la vitesse ; en effet, seule la composante normale de la vitesse
est strictement nulle pour des conditions physiques d´ ecrivant l’adh´ erence. L’erreur
sur les conditions aux limites des composantes tangentielles de la vitesse est toutefois d’ordre deux ou trois suivant les m´ ethodes [8].
Pr´ esentation de la m´ ethode
Une nouvelle approche du couplage vitesse-pression pour la r´ esolution num´ erique
des ´
equations de Navier-Stokes est propos´ ee par J.P. Caltagirone et J. Breil [5].
Consid´ erons pour cela un ouvert born´ e de limit´ e par sa fronti` ere . A partir des
´
equations discr´ etis´ ees dans le temps, repr´ esent´ e par l’indice n, nous obtenons le
syst` eme lin´ earis´ e suivant :
ρ
� V n+1 − V n
Δt
+ V
n · ∇V
n+1
�
− ∇ ·
� μ
�
∇V
n+1
+ ∇
t
V
n+1
��
− f = −∇p
n+1
La solution d’un probl` eme d’´ ecoulement est donn´ ee par la r´ esolution de cette
´
equation o` u V = u e x + v e y + w e z est la vitesse, p la pression, ρ la masse volumique
et μ la viscosit´ e dynamique. Le terme source f sera suppos´ e suffisamment r´ egulier
sur Ω .
La r´ ealisation de la contrainte d’incompressibilit´ e de l’´ ecoulement sera assur´ ee
de mani` ere implicite par l’introduction d’un param` etre de Lagrange, en l’occurrence
la pression, en transformant le probl` eme en une recherche de point selle suivant les
m´ ethodes d´ evelopp´ ees notamment par Fortin et Glowinski [16].
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V n+1 −V n
Δt
+ V
n
·∇V
n+1
�
−∇ ·
� μ
�
∇V
n+1
+ ∇
t V
n+1
��
−r ∇
�
∇ · V
n+1
�
= −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
n+1
∇ · V
n+1 | Ω = 0
Les conditions limites que l’on imposera sur la fronti` ere Γ du domaine Ω pourront ˆ
etre soit des conditions de Neumann homog` enes soit des conditions de Dirichlet.
Le param` etre r de la premi` ere ´
equation est un terme de couplage des contraintes
sur le champ de vitesse qui doit satisfaire `
a la fois `
a l’´ equation de Navier-Stokes et
`
a l’´ equation de continuit´ e. En prenant r = 0 dans l’´ equation de Navier-Stokes et en
gardant une valeur finie pour le calcul de la pression alors on retrouve l’algorithme
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
riger les vitesses. Plusieurs ´
etapes de correction comme pour PISO sont utilis´ ees
pour obtenir un champ de vitesse `
a divergence nulle.
Les m´ ethodes de projection permettent de garder un formalisme math´ ematique
plus rigoureux et l’algorithme se d´ ecompose en deux suites d’approximations de
la vitesse, la seconde consistant `
a projeter le champ de vitesse issu de la premi` ere
approximation sur un espace fonctionnel ad´ equat (` a divergence nulle).
Ces deux types de m´ ethodes ne permettent pas d’assurer la consistance des conditions aux limites sur la vitesse ; en effet, seule la composante normale de la vitesse
est strictement nulle pour des conditions physiques d´ ecrivant l’adh´ erence. L’erreur
sur les conditions aux limites des composantes tangentielles de la vitesse est toutefois d’ordre deux ou trois suivant les m´ ethodes [8].
Pr´ esentation de la m´ ethode
Une nouvelle approche du couplage vitesse-pression pour la r´ esolution num´ erique
des ´
equations de Navier-Stokes est propos´ ee par J.P. Caltagirone et J. Breil [5].
Consid´ erons pour cela un ouvert born´ e de limit´ e par sa fronti` ere . A partir des
´
equations discr´ etis´ ees dans le temps, repr´ esent´ e par l’indice n, nous obtenons le
syst` eme lin´ earis´ e suivant :
ρ
� V n+1 − V n
Δt
+ V
n · ∇V
n+1
�
− ∇ ·
� μ
�
∇V
n+1
+ ∇
t
V
n+1
��
− f = −∇p
n+1
La solution d’un probl` eme d’´ ecoulement est donn´ ee par la r´ esolution de cette
´
equation o` u V = u e x + v e y + w e z est la vitesse, p la pression, ρ la masse volumique
et μ la viscosit´ e dynamique. Le terme source f sera suppos´ e suffisamment r´ egulier
sur Ω .
La r´ ealisation de la contrainte d’incompressibilit´ e de l’´ ecoulement sera assur´ ee
de mani` ere implicite par l’introduction d’un param` etre de Lagrange, en l’occurrence
la pression, en transformant le probl` eme en une recherche de point selle suivant les
m´ ethodes d´ evelopp´ ees notamment par Fortin et Glowinski [16].
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V n+1 −V n
Δt
+ V
n
·∇V
n+1
�
−∇ ·
� μ
�
∇V
n+1
+ ∇
t V
n+1
��
−r ∇
�
∇ · V
n+1
�
= −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
n+1
∇ · V
n+1 | Ω = 0
Les conditions limites que l’on imposera sur la fronti` ere Γ du domaine Ω pourront ˆ
etre soit des conditions de Neumann homog` enes soit des conditions de Dirichlet.
Le param` etre r de la premi` ere ´
equation est un terme de couplage des contraintes
sur le champ de vitesse qui doit satisfaire `
a la fois `
a l’´ equation de Navier-Stokes et
`
a l’´ equation de continuit´ e. En prenant r = 0 dans l’´ equation de Navier-Stokes et en
gardant une valeur finie pour le calcul de la pression alors on retrouve l’algorithme