3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes
79
u = −
∂ ψ
∂ z
, w =
∂ ψ
∂ x
La contrainte d’incompressibilit´ e est automatiquement satisfaite par la vitesse. On
a enfin :
∇
2
ψ = −ω
∂ ω
∂t
+ V · ∇ω =
Ra
Re 2 Pr
l(T ) +
1
Re
∇
2
ω
Ici les conditions s’´ ecrivent plus simplement au moins pour la fonction de courant
qui est par exemple constante sur les parois solides ou sur des obstacles.
Il est `
a remarquer que ce syst` eme de 2 ´
equations d’ordre deux se r´ eduit `
a une
seule d’ordre quatre :
∂
∂t
∇
2
ψ
− V · ∇∇
2
ψ =
Ra
Re 2 Pr
l(T ) +
1
Re
∇
2
∇
2
ψ
soit aussi :
∂
∂t
∇
2
ψ
+
∂ ψ
∂ z
∂
∂ x
∇
2
ψ −
∂ ψ
∂ x
∂
∂ z
∇
2
ψ =
Ra
Re 2 Pr
l 2 (T ) +
1
Re
∇
4
ψ
Les conditions aux limites portent ici sur ψ mais aussi sur ses d´ eriv´ ees.
3.6.4 Projection vectorielle
La r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes sous la contrainte d’incompressibilit´ e
de l’´ ecoulement n´ ecessite l’obtention, `
a chaque instant, d’un champ de pression
et d’un champ de vitesse coh´ erents, satisfaisant aux ´
equations du mouvement et `
a
l’´ equation de conservation de la masse. Ce couplage vitesse-pression est d´ elicat `
a
traiter en incompressible car la pression n’apparaˆ ıt pas explicitement dans la conservation de la masse. Plusieurs voies sont utilis´ ees pour aborder ce probl` eme et
correspondent `
a des classes de m´ ethodes diff´ erentes : les algorithmes de pr´ edictioncorrection du type Spalding-Patankhar, les m´ ethodes de projection introduites par
A.J. Chorin [10] et leurs diverses variantes et les m´ ethodes de p´ enalisation ou de
compressibilit´ e artificielle d´ ecrites par R. Peyret et T. Taylor [27]. D’autres techniques sortant du cadre de cet expos´ e comme celles utilisant la d´ eg´ en´ erescence `
a
petits nombres de Mach des algorithmes compressibles permettent de r´ esoudre les
´
equations du mouvement sous la condition d’incompressibilit´ e.
Les algorithmes de pr´ ediction-correction de type SIMPLE sont bas´ es sur la construction d’une ´
equation de correction de pression en n´ egligeant pour cela la contribution des voisins sur le point central ; la pseudo-´ equation de Poisson conduit
`
a l’obtention de la correction de pression qui est aussi utilis´ ee pour corriger les
vitesses. Dans l’algorithme SIMPLER la correction de pression ne sert qu’` a cor-
equations de Navier-Stokes
79
u = −
∂ ψ
∂ z
, w =
∂ ψ
∂ x
La contrainte d’incompressibilit´ e est automatiquement satisfaite par la vitesse. On
a enfin :
∇
2
ψ = −ω
∂ ω
∂t
+ V · ∇ω =
Ra
Re 2 Pr
l(T ) +
1
Re
∇
2
ω
Ici les conditions s’´ ecrivent plus simplement au moins pour la fonction de courant
qui est par exemple constante sur les parois solides ou sur des obstacles.
Il est `
a remarquer que ce syst` eme de 2 ´
equations d’ordre deux se r´ eduit `
a une
seule d’ordre quatre :
∂
∂t
∇
2
ψ
− V · ∇∇
2
ψ =
Ra
Re 2 Pr
l(T ) +
1
Re
∇
2
∇
2
ψ
soit aussi :
∂
∂t
∇
2
ψ
+
∂ ψ
∂ z
∂
∂ x
∇
2
ψ −
∂ ψ
∂ x
∂
∂ z
∇
2
ψ =
Ra
Re 2 Pr
l 2 (T ) +
1
Re
∇
4
ψ
Les conditions aux limites portent ici sur ψ mais aussi sur ses d´ eriv´ ees.
3.6.4 Projection vectorielle
La r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes sous la contrainte d’incompressibilit´ e
de l’´ ecoulement n´ ecessite l’obtention, `
a chaque instant, d’un champ de pression
et d’un champ de vitesse coh´ erents, satisfaisant aux ´
equations du mouvement et `
a
l’´ equation de conservation de la masse. Ce couplage vitesse-pression est d´ elicat `
a
traiter en incompressible car la pression n’apparaˆ ıt pas explicitement dans la conservation de la masse. Plusieurs voies sont utilis´ ees pour aborder ce probl` eme et
correspondent `
a des classes de m´ ethodes diff´ erentes : les algorithmes de pr´ edictioncorrection du type Spalding-Patankhar, les m´ ethodes de projection introduites par
A.J. Chorin [10] et leurs diverses variantes et les m´ ethodes de p´ enalisation ou de
compressibilit´ e artificielle d´ ecrites par R. Peyret et T. Taylor [27]. D’autres techniques sortant du cadre de cet expos´ e comme celles utilisant la d´ eg´ en´ erescence `
a
petits nombres de Mach des algorithmes compressibles permettent de r´ esoudre les
´
equations du mouvement sous la condition d’incompressibilit´ e.
Les algorithmes de pr´ ediction-correction de type SIMPLE sont bas´ es sur la construction d’une ´
equation de correction de pression en n´ egligeant pour cela la contribution des voisins sur le point central ; la pseudo-´ equation de Poisson conduit
`
a l’obtention de la correction de pression qui est aussi utilis´ ee pour corriger les
vitesses. Dans l’algorithme SIMPLER la correction de pression ne sert qu’` a cor-