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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
du niveau de la plus grande viscosit´ e ; il est `
a noter que justement r a la dimension
d’une viscosit´ e.
3.6.3 Formulation en Rotationnel, Potentiel-Vecteur
Le syst` eme d’´ equations en variables adimensionnelles s’´ ecrit :
∇ · V = 0
∂ V
∂t
+ V · ∇V = −∇p +
Ra
Re 2 Pr
k T +
1
Re
∇
2
V
∂ T
∂t
+ V · ∇T =
1
Re Pr
∇
2 T
Reprenons uniquement l’´ equation du mouvement en variables adimensionnelles.
La deuxi` eme famille de m´ ethodes pour coupler l’´ equation de continuit´ e et l’´ equation
de Navier-Stokes consiste `
a ´
eliminer la pression de cette derni` ere et de tenir compte
de ∇ · V = 0. Prenons donc le rotationnel de l’´ equation ci-dessus :
∂
∂t
(∇ × V) + ∇ × (V · ∇V) =
Ra
Re 2 Pr
∇ × (k T ) +
1
Re
∇
2
(∇ × V)
On introduit le potentiel-vecteur Ψ et on pose V = ∇ ×Ψ tel que ∇ ·Ψ = 0 (champ
sol´ eno¨ ıdal). Le rotationnel s’´ ecrit quant `
a lui : Ω = ∇ × V
Ω = ∇ × ∇ ×Ψ = ∇ (∇ ·Ψ ) − ∇
2
Ψ = −∇
2
Ψ
En posant l = ∇ × (k T ), il vient finalement :
∇
2
Ψ = −Ω
∂ Ω
∂t
+ V · ∇Ω − Ω · ∇V =
Ra
Re 2 Pr
l(T ) +
1
Re
∇
2
Ω
soit 6 ´
equations `
a r´ esoudre en 3D, trois ´
equations de Poisson sur les composantes du
potentiel-vecteur et trois ´
equations de transport du tourbillon. La vitesse est d´ eduite
de V = ∇ × Ψ . Cette m´ ethode est assez lourde `
a mettre en oeuvre et les conditions aux limites portent sur des d´ eriv´ ees des variables naturelles comme la vitesse.
De plus cette m´ ethode devient tr` es difficile `
a impl´ ementer lorsque les propri´ et´ es
physiques sont variables.
3.6.3.1 Formulation en rotationnel-fonction de courant
En 2D cette formulation devient plus attractive et se r´ eduit `
a deux ´
equations seulement. On a V = (u, 0, w), Ψ = (0, ψ, 0) et Ω = (0, ω, 0) o` u ψ est la fonction de
courant et ω le rotationnel. La fonction est d´ efinie par :