3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes
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Pour un ´
ecoulement incompressible la vitesse du son est infinie et son coefficient
de compressibilit´ e nul. La proc´ edure consiste ici `
a prendre χ T = ε petit et `
a n´ egliger
les deux derniers termes du second membre. On trouve alors :
∂ p
∂t
= −
1
ε
∇ · V
soit :
p
n+1
= p
n −
Δt
ε
∇ · V
n
o` u n correspond `
a la discr´ etisation temporelle, ici explicite d’ordre un.
Une version implicite de cet algorithme, la m´ ethode du lagrangien augment´ e,
permet de consid´ erer la pression comme un multiplicateur de Lagrange et d’int´ egrer
la contrainte d’incompressibilit´ e dans l’´ equation de Navier-Stokes.
3.6.2.3 Lagrangien augment´ e
Les ´
equations de Navier-Stokes dans leur formulation incompressible s’´ ecrivent :
∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
t
V
�� + ρ g
La m´ ethode du lagrangien augment´ e int` egre directement la contrainte d’incompressibilit´ e dans l’´ equation de Navier-Stokes [16], [35]. En transformant l’´ equation de
conservation de la masse en une ´
equation explicite sur la pression, les ´
equations
deviennent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
k = 1, ..K :
ρ
� V k+1 −V n
Δt
+ V
k
·∇V
k+1
�
−∇ ·
�
μ
�
∇V
k+1
+ ∇
t V
k+1
��
−r ∇
�
∇ · V
k+1
�
= −∇p
k
+ f
p
k+1
= p
k − r ∇ · V
k+1
Le processus it´ eratif pour k = 1, ..K corrige la pression `
a chaque it´ eration mais aussi
la vitesse notamment dans le terme non lin´ eaire d’inertie et conduit, `
a convergence,
`
a la solution (V k+1 , p n+1 ).
Le param` etre r du lagrangien augment´ e permet de r´ egler l’importance relative
de la contrainte d’incompressibilit´ e et des autres termes de l’´ equation de NavierStokes. Pour des valeurs tr` es faibles de r, la priorit´ e est donn´ ee `
a l’´ equation de
Navier-Stokes ; pour une valeur nulle on retrouve l’algorithme de Uzawa. Lorsque
r est grand c’est au contraire la contrainte de divergence nulle qui est satisfaite au
mieux. Pratiquement on utilise des valeurs de r compatibles avec les autres termes,