viii
Table des mati` eres
2.6 Equations d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Syst` eme d’´ equations g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Conditions aux limites m´ ecaniques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Conditions aux limites thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 Conditions aux limites p´ eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Int´ egration des conditions aux limites dans les ´
equations . . 54
3.2.5 Condition initiale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.6 Grandeurs de r´ ef´ erences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Analyse adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Vitesse du son dans un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Corps solide dans un fluide en ´
ecoulement stationnaire . . . . 61
3.3.3 Ecoulement en r´ egime stationnaire ´
etabli d’un fluide
incompressible visqueux dans un conduit . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Ecoulements en charge d’un fluide visqueux
incompressible dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 Ecoulement `
a surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3 Ecoulements compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.4 Utilisation pratique des conditions de similitude . . . . . . . . . 71
3.5 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5.1 Mod` eles ”bas nombre de Mach” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.2 Formulation en variables primitives p,V,T . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6.3 Formulation en Rotationnel, Potentiel-Vecteur . . . . . . . . . . . 78
3.6.4 Projection vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7 D´ eg´ en´ erescences des ´
equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.1 Choix des ´
echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.2 Principales d´ eg´ en´ erescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.3 M´ ethodes de perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 Solutions exactes, solutions semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1 Premier probl` eme de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.2 Tourbillon self-similaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Autres solutions exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 L’´ ecoulement de Poiseuille plan et axi-sym´ etrique . . . . . . . . 93
4.2.2 Ecoulement instationnaire dans un tube . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.3 Ecoulement instationnaire entre deux plans . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.4 Ecoulement entre deux plans `
a viscosit´ e variable . . . . . . . . . 96
4.2.5 Ecoulement entre deux plans avec dissipation visqueuse . . . 96
Table des mati` eres
2.6 Equations d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Syst` eme d’´ equations g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Conditions aux limites m´ ecaniques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Conditions aux limites thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 Conditions aux limites p´ eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Int´ egration des conditions aux limites dans les ´
equations . . 54
3.2.5 Condition initiale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.6 Grandeurs de r´ ef´ erences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Analyse adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Vitesse du son dans un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Corps solide dans un fluide en ´
ecoulement stationnaire . . . . 61
3.3.3 Ecoulement en r´ egime stationnaire ´
etabli d’un fluide
incompressible visqueux dans un conduit . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Ecoulements en charge d’un fluide visqueux
incompressible dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.2 Ecoulement `
a surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3 Ecoulements compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.4 Utilisation pratique des conditions de similitude . . . . . . . . . 71
3.5 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5.1 Mod` eles ”bas nombre de Mach” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.2 Formulation en variables primitives p,V,T . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6.3 Formulation en Rotationnel, Potentiel-Vecteur . . . . . . . . . . . 78
3.6.4 Projection vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7 D´ eg´ en´ erescences des ´
equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.1 Choix des ´
echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.2 Principales d´ eg´ en´ erescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.3 M´ ethodes de perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1 Solutions exactes, solutions semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.1 Premier probl` eme de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.2 Tourbillon self-similaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Autres solutions exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 L’´ ecoulement de Poiseuille plan et axi-sym´ etrique . . . . . . . . 93
4.2.2 Ecoulement instationnaire dans un tube . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.3 Ecoulement instationnaire entre deux plans . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.4 Ecoulement entre deux plans `
a viscosit´ e variable . . . . . . . . . 96
4.2.5 Ecoulement entre deux plans avec dissipation visqueuse . . . 96