Table des mati` eres
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G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 La mod´ elisation en M´ ecanique des Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2
Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Notion de milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Cin´ ematique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 D´ eriv´ ee particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Description Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Description Eul´ erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 D´ efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.5 Expressions des d´ eriv´ ees particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Cas d’un fluide pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Ecoulement incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4 Ecoulement incompressible mais dilatable . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Enonc´ e fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Expression des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Equation locale du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 Tenseur des vitesses de d´ eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.6 Tenseur des d´ eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.7 Sym´ etrie du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.8 Fluide Newtonien isotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.9 Application du second principe de la thermodynamique . . . . 34
2.4.10 Approche standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.11 Hypoth` ese de Stokes et pressions m´ ecanique et
thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.12 Equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Conservation de l’ Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 La mod´ elisation en M´ ecanique des Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
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Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Notion de milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Cin´ ematique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 D´ eriv´ ee particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Description Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Description Eul´ erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 D´ efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.5 Expressions des d´ eriv´ ees particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Cas d’un fluide pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Ecoulement incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4 Ecoulement incompressible mais dilatable . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Enonc´ e fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Expression des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Equation locale du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.5 Tenseur des vitesses de d´ eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.6 Tenseur des d´ eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.7 Sym´ etrie du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.8 Fluide Newtonien isotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.9 Application du second principe de la thermodynamique . . . . 34
2.4.10 Approche standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.11 Hypoth` ese de Stokes et pressions m´ ecanique et
thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.12 Equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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