Table des mati` eres
ix
4.2.6 Ecoulement laminaire dans un conduit `
a section
rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.7 L’´ ecoulement de Couette cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.8 Mise en rotation d’un fluide visqueux dans un cylindre . . . . 102
4.2.9 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham . . . . . . . . 104
5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Th´ eor` eme de la quantit´ e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Th´ eor` emes de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1 Premier th´ eor` eme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.2 Rotation et tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.1 Int´ erˆ et du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.2 Potentiel des vitesses, potentiel complexe, fonction de
courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Propri´ et´ es des potentiels complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.4 Probl` eme inverse : champs ´
el´ ementaires correspondant
aux singularit´ es des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.5 Champs ´
el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 Approximation de Stokes - Re → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 Equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.1 Le probl` eme de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.2 Les diff´ erentes formes de l’´ equation de Stokes . . . . . . . . . . . 128
6.2 Propri´ et´ es de l’´ equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.1 Unicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.2 R´ eversibilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.3 Additivit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2.4 Minimisation de la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2.5 Efforts en r´ egime de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3 Exemples d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3.1 Cylindre circulaire en milieu infini - paradoxe de Stokes . . . 132
6.4 Ecoulements en milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.2 D´ efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.4.3 Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.4 Loi d’Ergun, ´
equation de Darcy-Forchheimer . . . . . . . . . . . . 136
6.4.5 Equation de l’´ energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7 La couche limite - ε = δ /L → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1 Concept de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Quelques ´
ecoulements cisaill´ es et d´ ecollements . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.1 Couche limite sur plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.2 Jet impactant une paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.3 Marche descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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4.2.6 Ecoulement laminaire dans un conduit `
a section
rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.7 L’´ ecoulement de Couette cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.8 Mise en rotation d’un fluide visqueux dans un cylindre . . . . 102
4.2.9 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham . . . . . . . . 104
5 Dynamique des fluides parfaits - Re → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Th´ eor` eme de la quantit´ e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Th´ eor` emes de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1 Premier th´ eor` eme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.2 Rotation et tourbillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Ecoulements irrotationnels de fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.1 Int´ erˆ et du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.2 Potentiel des vitesses, potentiel complexe, fonction de
courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Propri´ et´ es des potentiels complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.4 Probl` eme inverse : champs ´
el´ ementaires correspondant
aux singularit´ es des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.5 Champs ´
el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 Approximation de Stokes - Re → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 Equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.1 Le probl` eme de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.2 Les diff´ erentes formes de l’´ equation de Stokes . . . . . . . . . . . 128
6.2 Propri´ et´ es de l’´ equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.1 Unicit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.2 R´ eversibilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.3 Additivit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2.4 Minimisation de la dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2.5 Efforts en r´ egime de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3 Exemples d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3.1 Cylindre circulaire en milieu infini - paradoxe de Stokes . . . 132
6.4 Ecoulements en milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.2 D´ efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.4.3 Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.4 Loi d’Ergun, ´
equation de Darcy-Forchheimer . . . . . . . . . . . . 136
6.4.5 Equation de l’´ energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7 La couche limite - ε = δ /L → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1 Concept de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 Quelques ´
ecoulements cisaill´ es et d´ ecollements . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.1 Couche limite sur plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.2 Jet impactant une paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.3 Marche descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142