x
Table des mati` eres
7.2.4 Cavit´ e entraˆ ın´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2.5 Ecoulement autour de deux cylindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Estimation de quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4 Echelles caract´ eristiques de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.5 Equations de la couche limite sur plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.5.1 Solution de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.6 Couche limite thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8 Stabilit´ e, chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2 Th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 M´ ethode de l’´ energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.4 Exemples d’instabilit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.4.1 Instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.5.1 Stabilit´ e lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.5.2 Cas des perturbations tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.5.3 L’´ ecoulement plan de Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.5.4 La couche limite de Blasius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1 Caract` eres g´ en´ eraux de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.1 Caract` ere al´ eatoire, hasardeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.2 Une extrˆ eme sensibilit´ e aux conditions initiales . . . . . . . . . . 185
9.1.3 Une perte de m´ emoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.1.4 Une forte diffusivit´ e apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.1.5 La coexistence d’´ echelles spatiales tr` es diff´ erentes . . . . . . . . 186
9.1.6 La cascade d’´ energie due aux ´
echanges entre les tourbillons 187
9.2 Les concepts de base et les diff´ erentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.3 La mod´ elisation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.3.1 La d´ ecomposition de Reynolds, O. Reynolds, 1878 . . . . . . . 191
9.3.2 La d´ ecomposition de Favre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.3.3 Syst` eme d’´ equations moyenn´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.3.4 Hypoth` eses de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.3.5 Mod` ele de turbulence k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3.6 Mod` ele de turbulence RNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.7 Mod` ele de turbulence V2F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3.8 La turbulence en ´
ecoulements cisaill´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.3.9 Les ´
equations de la couche de m´ elange turbulente . . . . . . . . 201
9.3.10 Recherche d’une solution auto-similaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.3.11 La solution de Goertler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4 La Simulation des Grandes Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4.1 Position du probl` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4.2 Principe de la simulation des grandes ´
echelles . . . . . . . . . . . . 206
9.4.3 Mod´ elisation de sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Table des mati` eres
7.2.4 Cavit´ e entraˆ ın´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2.5 Ecoulement autour de deux cylindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Estimation de quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4 Echelles caract´ eristiques de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.5 Equations de la couche limite sur plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.5.1 Solution de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.6 Couche limite thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8 Stabilit´ e, chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2 Th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 M´ ethode de l’´ energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.4 Exemples d’instabilit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.4.1 Instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.5.1 Stabilit´ e lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.5.2 Cas des perturbations tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.5.3 L’´ ecoulement plan de Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.5.4 La couche limite de Blasius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1 Caract` eres g´ en´ eraux de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.1 Caract` ere al´ eatoire, hasardeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.2 Une extrˆ eme sensibilit´ e aux conditions initiales . . . . . . . . . . 185
9.1.3 Une perte de m´ emoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.1.4 Une forte diffusivit´ e apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.1.5 La coexistence d’´ echelles spatiales tr` es diff´ erentes . . . . . . . . 186
9.1.6 La cascade d’´ energie due aux ´
echanges entre les tourbillons 187
9.2 Les concepts de base et les diff´ erentes approches . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.3 La mod´ elisation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.3.1 La d´ ecomposition de Reynolds, O. Reynolds, 1878 . . . . . . . 191
9.3.2 La d´ ecomposition de Favre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.3.3 Syst` eme d’´ equations moyenn´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.3.4 Hypoth` eses de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.3.5 Mod` ele de turbulence k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3.6 Mod` ele de turbulence RNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.7 Mod` ele de turbulence V2F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3.8 La turbulence en ´
ecoulements cisaill´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.3.9 Les ´
equations de la couche de m´ elange turbulente . . . . . . . . 201
9.3.10 Recherche d’une solution auto-similaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.3.11 La solution de Goertler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4 La Simulation des Grandes Echelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4.1 Position du probl` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4.2 Principe de la simulation des grandes ´
echelles . . . . . . . . . . . . 206
9.4.3 Mod´ elisation de sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208