3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes
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⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d V
d t
+ ρ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + ρ g + ∇ · (μ (∇V + ∇ t V)) −
μ
K
V +
β ρ
√
K
�V�V − ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (Λ ∇T ) − β T ∇ · V + q + Φ
3.6.2 Formulation en variables primitives p,V,T
3.6.2.1 M´ ethodes de Projection Scalaire
On projette la vitesse sur un champ `
a divergence nulle [27], [31], [32]). Il faut ∇ ·
V = 0 et on pose V = V ∗ + V � o` u V ∗ est le champ de vitesse issu de l’´ etape de
pr´ ediction, `
a divergence non nulle, V est le champ de vitesse `
a divergence nulle et
V � la correction recherch´ ee.
On ´
ecrit que V � est un champ de gradient V � = ∇φ d’une fonction `
a d´ eterminer
φ . En effet tout champ vectoriel peut se d´ ecomposer en une somme d’un gradient
d’une fonction scalaire φ et le rotationnel d’une fonction vectorielle Ψ . Comme
∇ · ∇ ×Ψ = 0, il vient :
∇
2
φ = −∇ · V
∗
On consid` ere que la fonction φ est assimil´ ee `
a la pression qui devient ainsi une
variable secondaire permettant de satisfaire la contrainte d’incompressibilit´ e.
Des techniques de couplage des ´
equations de Navier-Stokes ´
equivalentes `
a la
technique de projection ont ´
et´ e ´
elabor´ ees et mise en oeuvre par Spalding et Patankar
`
a l’Imp´ erial Coll` ege de Londres dans les ann´ ees 1960-1970. Elles ont donn´ e lieu
`
a de multiples versions intitul´ ees SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure
Linked Equation), SIMPLER, SIMPLEST, PISO, etc.
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V n+1 − V n
Δt
+ V
n · ∇V
n
�
− ∇ ·
� μ
�
∇V
n
+ ∇
t
V
n
�� = −∇p
n+1
+ f
∇ · V
n+1
= 0
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V ∗ − V n
Δt
+ V
n · ∇V
n
�
− ∇ ·
� μ
�
∇V
n
+ ∇
t
V
n
�� = −∇p
n
+ f
∇ · V
∗ � = 0