3.5 Approximation de Boussinesq
73
Le terme ρ 0 g pouvant `
a son tour ˆ
etre int´ egr´ e dans le gradient de pression pour
donner la pression motrice ∇p∗ = ∇(p + ρ 0 g · e z ).
3.5.1 Mod` eles ”bas nombre de Mach”
Le syst` eme d’´ equations correspondant aux ´
ecoulements compressibles ci-dessous
est adapt´ e aux nombres faibles nombres de Mach typiquement inf´ erieurs `
a M = 0.2.
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇P + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
+ ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
Suivant l’utilisation de ce syst` eme, en a´ erodynamique, hypersonique, ..., la formulation de l’´ equation de l’´ energie doit ˆ
etre adapt´ ee en ´
ecrivant celle-ci en terme
d’enthalpie ou maintenue sous cette forme si les temp´ eratures sont fix´ ees sur certaines surfaces du domaine.
Les ´
ecoulements industriels ou mˆ eme naturels font souvent intervenir des niveaux
de vitesses tr` es diff´ erentes au sein d’un mˆ eme syst` eme. C’est le cas par exemple
sur un avion ou certaines zones de recirculation o` u les vitesses sont proches de la
vitesse de l’avion ou bien au sein des turbomachines qui pr´ esentent des sections
de passage des gaz tr` es diff´ erentes. La tendance actuelle, bien que cela ne soit pas
la seule ni probablement pas la meilleure, est de simuler les ´
ecoulements dans une
large gamme de nombre de Mach avec un mˆ eme syst` eme d’´ equations (techniques
appel´ ees ”Low Mach Number Methods”), celui pr´ esent´ e ci-dessus ou son ´
equivalent
et o` u les variables principales sont la masse volumique, la pression et la quantit´ e de
mouvement.
Pour des nombres de Mach sup´ erieurs `
a l’unit´ e ou pour des ´
ecoulements `
a nombres de Mach sup´ erieurs `
a 0.2, les variations de la masse volumique sont suffisamment importantes puisqu’elles sont en O(M 2 ) :
ρ ≈ ρ 0
1 + M
2
Dans le cas d’´ ecoulements `
a faibles vitesse, par exemple en convection naturelle, le
nombre de Mach est de l’ordre de M ≈ 10 −6 ; les variations de masse volumique sont
alors en O(10 −12 ). Corr´ elativement les variations de la pression thermodynamique
sont de l’ordre de p − p 0 ≈ (ρ − ρ 0 ) rT 0 . Devant la pression totale, 10 5 pour la
pression atmosph´ erique, ces variations de pression sont tr` es petites et l’´ evaluation
num´ erique de ∇p dans l’´ equation de Navier-Stokes devient erron´ ee.
Formellement le calcul de ∇ (1 + ε) est identique `
a ∇ (ε) o` u ε est une fonction
d’ordre d’ordre de grandeur ´
egale `
a n � 1 mais les ´
evaluations sur un calculateur ne disposant que de N chiffres significatifs rend la premi` ere forme inutilisable
si n ≈ N. Un calculateur dispose suivant le cas de pr` es de 15 chiffres significat-
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Le terme ρ 0 g pouvant `
a son tour ˆ
etre int´ egr´ e dans le gradient de pression pour
donner la pression motrice ∇p∗ = ∇(p + ρ 0 g · e z ).
3.5.1 Mod` eles ”bas nombre de Mach”
Le syst` eme d’´ equations correspondant aux ´
ecoulements compressibles ci-dessous
est adapt´ e aux nombres faibles nombres de Mach typiquement inf´ erieurs `
a M = 0.2.
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇P + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
+ ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
Suivant l’utilisation de ce syst` eme, en a´ erodynamique, hypersonique, ..., la formulation de l’´ equation de l’´ energie doit ˆ
etre adapt´ ee en ´
ecrivant celle-ci en terme
d’enthalpie ou maintenue sous cette forme si les temp´ eratures sont fix´ ees sur certaines surfaces du domaine.
Les ´
ecoulements industriels ou mˆ eme naturels font souvent intervenir des niveaux
de vitesses tr` es diff´ erentes au sein d’un mˆ eme syst` eme. C’est le cas par exemple
sur un avion ou certaines zones de recirculation o` u les vitesses sont proches de la
vitesse de l’avion ou bien au sein des turbomachines qui pr´ esentent des sections
de passage des gaz tr` es diff´ erentes. La tendance actuelle, bien que cela ne soit pas
la seule ni probablement pas la meilleure, est de simuler les ´
ecoulements dans une
large gamme de nombre de Mach avec un mˆ eme syst` eme d’´ equations (techniques
appel´ ees ”Low Mach Number Methods”), celui pr´ esent´ e ci-dessus ou son ´
equivalent
et o` u les variables principales sont la masse volumique, la pression et la quantit´ e de
mouvement.
Pour des nombres de Mach sup´ erieurs `
a l’unit´ e ou pour des ´
ecoulements `
a nombres de Mach sup´ erieurs `
a 0.2, les variations de la masse volumique sont suffisamment importantes puisqu’elles sont en O(M 2 ) :
ρ ≈ ρ 0
1 + M
2
Dans le cas d’´ ecoulements `
a faibles vitesse, par exemple en convection naturelle, le
nombre de Mach est de l’ordre de M ≈ 10 −6 ; les variations de masse volumique sont
alors en O(10 −12 ). Corr´ elativement les variations de la pression thermodynamique
sont de l’ordre de p − p 0 ≈ (ρ − ρ 0 ) rT 0 . Devant la pression totale, 10 5 pour la
pression atmosph´ erique, ces variations de pression sont tr` es petites et l’´ evaluation
num´ erique de ∇p dans l’´ equation de Navier-Stokes devient erron´ ee.
Formellement le calcul de ∇ (1 + ε) est identique `
a ∇ (ε) o` u ε est une fonction
d’ordre d’ordre de grandeur ´
egale `
a n � 1 mais les ´
evaluations sur un calculateur ne disposant que de N chiffres significatifs rend la premi` ere forme inutilisable
si n ≈ N. Un calculateur dispose suivant le cas de pr` es de 15 chiffres significat-