72
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
3.5 Approximation de Boussinesq
Reprenons le syst` eme d’´ equations de Navier-Stokes et de l’´ energie dans sa formulation incompressible.
∇ · V = 0
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + q + Φ
Il faut y ajouter une ´
equation d’´ etat f (p, ρ, T ) = 0.
Mˆ eme dans cette formulation simplifi´ ee de nombreux couplages subsistent entre
les diff´ erentes ´
equations, la vitesse dans plusieurs termes de l’´ equation de l’´ energie,
la temp´ erature intervient implicitement dans l’´ equation de Navier-Stokes `
a travers la
masse volumique qui apparait `
a son tour dans diff´ erents termes. Les diff´ erentes nonlin´ earit´ es empˆ echent ´
evidemment toute r´ esolution directe de l’une de ces ´
equations
et `
a fortiori du syst` eme.
Une des questions, fondamentale en M´ ecanique des Fluides, r´ eside dans le couplage de ces ´
equations et le choix des variables de r´ esolution. La physique contenue
dans ces ´
equations peut ˆ
etre ob´ er´ ee par un couplage inappropri´ e des ´
equations
et l’introduction de variables non naturelles qui facilitent leur r´ esolution mais qui
d´ enature la r´ ealit´ e simul´ ee. Une simplification, l’approximation de Boussinesq, peut
ˆ
etre utilis´ ee `
a bon escient en ad´ equation avec l’incompressibilit´ e de l’´ ecoulement
lorsque les ´
ecarts de temp´ erature sont faibles. De fait si les ´
ecarts de temp´ erature
ne d´ epassent pas une dizaine de degr´ es pour les liquides et une trentaine de degr´ es
pour les gaz (Gray et Giorgini) on admet que la loi d’´ etat peut ˆ
etre lin´ earis´ ee sous la
forme ρ = ρ 0 (1 − β (T − T 0 )) o` u ρ 0 est la masse volumique ´
evalu´ ee `
a la temp´ erature
moyenne T 0 . L’approximation de Boussinesq consiste donc `
a n´ egliger les variations
de la masse volumique en fonction de la temp´ erature sauf ´
evidemment dans le terme
f = ρ g qui est le terme g´ en´ erateur de la convection naturelle d’origine thermique.
La mˆ eme analyse est bien sˆ ur valable pour des variations de concentration qui modifierait la masse volumique.
Dans le cadre d’une approximation de Boussinesq g´ en´ eralis´ ee on admet aussi
que les autres propri´ et´ es physiques comme la viscosit´ e, la chaleur massique, la conductivit´ e thermique sont des constantes ´
evalu´ ees aussi `
a la temp´ erature moyenne.
Le syst` eme d’´ equations devient alors :
∇ · V = 0
ρ 0
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + ρ 0 g − ρ 0 β (T − T 0 )g + μ 0 ∇
2
V
ρ 0 c p0
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= k 0 ∇
2 T + q + Φ
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
3.5 Approximation de Boussinesq
Reprenons le syst` eme d’´ equations de Navier-Stokes et de l’´ energie dans sa formulation incompressible.
∇ · V = 0
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + q + Φ
Il faut y ajouter une ´
equation d’´ etat f (p, ρ, T ) = 0.
Mˆ eme dans cette formulation simplifi´ ee de nombreux couplages subsistent entre
les diff´ erentes ´
equations, la vitesse dans plusieurs termes de l’´ equation de l’´ energie,
la temp´ erature intervient implicitement dans l’´ equation de Navier-Stokes `
a travers la
masse volumique qui apparait `
a son tour dans diff´ erents termes. Les diff´ erentes nonlin´ earit´ es empˆ echent ´
evidemment toute r´ esolution directe de l’une de ces ´
equations
et `
a fortiori du syst` eme.
Une des questions, fondamentale en M´ ecanique des Fluides, r´ eside dans le couplage de ces ´
equations et le choix des variables de r´ esolution. La physique contenue
dans ces ´
equations peut ˆ
etre ob´ er´ ee par un couplage inappropri´ e des ´
equations
et l’introduction de variables non naturelles qui facilitent leur r´ esolution mais qui
d´ enature la r´ ealit´ e simul´ ee. Une simplification, l’approximation de Boussinesq, peut
ˆ
etre utilis´ ee `
a bon escient en ad´ equation avec l’incompressibilit´ e de l’´ ecoulement
lorsque les ´
ecarts de temp´ erature sont faibles. De fait si les ´
ecarts de temp´ erature
ne d´ epassent pas une dizaine de degr´ es pour les liquides et une trentaine de degr´ es
pour les gaz (Gray et Giorgini) on admet que la loi d’´ etat peut ˆ
etre lin´ earis´ ee sous la
forme ρ = ρ 0 (1 − β (T − T 0 )) o` u ρ 0 est la masse volumique ´
evalu´ ee `
a la temp´ erature
moyenne T 0 . L’approximation de Boussinesq consiste donc `
a n´ egliger les variations
de la masse volumique en fonction de la temp´ erature sauf ´
evidemment dans le terme
f = ρ g qui est le terme g´ en´ erateur de la convection naturelle d’origine thermique.
La mˆ eme analyse est bien sˆ ur valable pour des variations de concentration qui modifierait la masse volumique.
Dans le cadre d’une approximation de Boussinesq g´ en´ eralis´ ee on admet aussi
que les autres propri´ et´ es physiques comme la viscosit´ e, la chaleur massique, la conductivit´ e thermique sont des constantes ´
evalu´ ees aussi `
a la temp´ erature moyenne.
Le syst` eme d’´ equations devient alors :
∇ · V = 0
ρ 0
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + ρ 0 g − ρ 0 β (T − T 0 )g + μ 0 ∇
2
V
ρ 0 c p0
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= k 0 ∇
2 T + q + Φ