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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
μ =
μ �
μ 0
= f (T /T 0 ), k =
k �
k 0
= g(T /T 0 )
Les fonctions f et g sont d’ailleurs sensiblement les mˆ emes et on peut ´
ecrire :
μ �
μ 0
≈
k �
k 0
≈
T �
T 0
n
soit μ ≈ k ≈ T n
Les ´
equations contiennent ainsi 5 nombres sans dimension : Re, Pr, M, γ, n.
Si nous n’avions pas n´ eglig´ e les forces de gravit´ e dans les ´
equations, leur
r´ eduction aurait fait apparaˆ ıtre un sixi` eme param` etre, le nombre de Froude Fr =
V 2
0 /Dg.
b - conditions initiales et conditions aux limites
Les conditions initiales interviennent peu dans les probl` emes de dynamique des
gaz. Supposons que le fluide soit en contact avec les parois solides immobiles
d’´ equation f (x, y, z)=0 et `
a la temp´ erature T 0 , la mˆ eme que celle r` egnant `
a l’infini
(V 0 , T ∞ ). Sous forme r´ eduite les conditions aux limites s’´ ecrivent `
a l’infini:
• Si les parois solides sont `
a temp´ erature diff´ erente : V = 1 et T = 1 `
a l’infini;
V = 0 et T = 1 sur f (x, y, z) = 0.
• Si les parois solides sont `
a temp´ erature T p : V = 1 et T = 1 `
a l’infini; V = 0 et
T = T p /T 0 = 1 + (T p − T 0 )/T 0 sur f (x, y, z) = 0.
c - conditions de similitude
Deux ´
ecoulements sont semblables si les ´
equations qui les d´ efinissent s’´ ecrivent
sous forme r´ eduite de la mˆ eme fac ¸on. Dans le cas pr´ ec´ edent o` u les conditions aux
limites font apparaˆ ıtre 1 vitesse et 2 temp´ eratures, les conditions de similitude sont
au nombre de 6 :
• 5 proviennent des ´
equations g´ en´ erales et se traduisent par l’´ egalit´ e respective des
nombres sans dimension,
• 1 provient des relations de d´ efinitions et se traduit par l’´ egalit´ e du rapport T p /T 0 .
Quand (T p − T 0 )/T 0 << 1 et si on peut n´ egliger les variations de k et μ en fonction de T, on peut s´ eparer l’´ etude du probl` eme dynamique et celui du probl` eme thermique. Le probl` eme dynamique est uniquement r´ egi par le nombre de Reynolds.
Le probl` eme thermique s’´ etudie ensuite `
a l’aide de l’´ equation de l’´ energie, mais
alors, puisque T n’y figure que sous forme de d´ eriv´ ees, il est possible de prendre
en consid´ eration des temp´ eratures relatives en adoptant une origine quelconque, par
exemple T 0 et prendre T p − T 0 au lieu de T 0 pour d´ efinir les temp´ eratures r´ eduites.
Le nombre de Mach M repr´ esente le rapport des forces d’inertie aux forces
d’´ elasticit´ e. Quant au nombre de Prandtl il peut s´ ecrire :
Pr =
ν/k
k/ρ c p
=
viscosite cinematique
diffusivite thermique
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
μ =
μ �
μ 0
= f (T /T 0 ), k =
k �
k 0
= g(T /T 0 )
Les fonctions f et g sont d’ailleurs sensiblement les mˆ emes et on peut ´
ecrire :
μ �
μ 0
≈
k �
k 0
≈
T �
T 0
n
soit μ ≈ k ≈ T n
Les ´
equations contiennent ainsi 5 nombres sans dimension : Re, Pr, M, γ, n.
Si nous n’avions pas n´ eglig´ e les forces de gravit´ e dans les ´
equations, leur
r´ eduction aurait fait apparaˆ ıtre un sixi` eme param` etre, le nombre de Froude Fr =
V 2
0 /Dg.
b - conditions initiales et conditions aux limites
Les conditions initiales interviennent peu dans les probl` emes de dynamique des
gaz. Supposons que le fluide soit en contact avec les parois solides immobiles
d’´ equation f (x, y, z)=0 et `
a la temp´ erature T 0 , la mˆ eme que celle r` egnant `
a l’infini
(V 0 , T ∞ ). Sous forme r´ eduite les conditions aux limites s’´ ecrivent `
a l’infini:
• Si les parois solides sont `
a temp´ erature diff´ erente : V = 1 et T = 1 `
a l’infini;
V = 0 et T = 1 sur f (x, y, z) = 0.
• Si les parois solides sont `
a temp´ erature T p : V = 1 et T = 1 `
a l’infini; V = 0 et
T = T p /T 0 = 1 + (T p − T 0 )/T 0 sur f (x, y, z) = 0.
c - conditions de similitude
Deux ´
ecoulements sont semblables si les ´
equations qui les d´ efinissent s’´ ecrivent
sous forme r´ eduite de la mˆ eme fac ¸on. Dans le cas pr´ ec´ edent o` u les conditions aux
limites font apparaˆ ıtre 1 vitesse et 2 temp´ eratures, les conditions de similitude sont
au nombre de 6 :
• 5 proviennent des ´
equations g´ en´ erales et se traduisent par l’´ egalit´ e respective des
nombres sans dimension,
• 1 provient des relations de d´ efinitions et se traduit par l’´ egalit´ e du rapport T p /T 0 .
Quand (T p − T 0 )/T 0 << 1 et si on peut n´ egliger les variations de k et μ en fonction de T, on peut s´ eparer l’´ etude du probl` eme dynamique et celui du probl` eme thermique. Le probl` eme dynamique est uniquement r´ egi par le nombre de Reynolds.
Le probl` eme thermique s’´ etudie ensuite `
a l’aide de l’´ equation de l’´ energie, mais
alors, puisque T n’y figure que sous forme de d´ eriv´ ees, il est possible de prendre
en consid´ eration des temp´ eratures relatives en adoptant une origine quelconque, par
exemple T 0 et prendre T p − T 0 au lieu de T 0 pour d´ efinir les temp´ eratures r´ eduites.
Le nombre de Mach M repr´ esente le rapport des forces d’inertie aux forces
d’´ elasticit´ e. Quant au nombre de Prandtl il peut s´ ecrire :
Pr =
ν/k
k/ρ c p
=
viscosite cinematique
diffusivite thermique