3.4 Similitude
69
A ces ´
equations, il faut y ajouter les relations de d´ efinition du syst` eme qui
pr´ ecisent les conditions initiales et aux limites et qui sont d’ordre g´ eom´ etrique,
cin´ ematique, dynamique et thermique. Les grandeurs caract´ eristiques sont : une
longueur D, une vitesse V 0 , une temp´ erature T 0 et une masse volumique ρ 0 , une
viscosit´ e μ 0 et une conductivit´ e k 0 .
Les variables r´ eduites s’´ ecrivent :
x =
x �
D
, V i =
V �
i
V 0
, t =
t � V 0
D
, p =
p �
ρ 0 V 2
0
,
ρ =
ρ �
ρ 0
, T =
T �
T 0
, μ =
μ �
μ 0
, k =
k �
k 0
,
Les ´
equations adimensionnelles s’´ ecrivent ainsi :
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p +
1
Re
∇ · τ
ρ
dT
dt
= E c
d p
dt
+
1
Re Pr
∇ · (k∇T ) +
1
Re E c
Φ
o` u
nombre de Reynolds Re =
V 0 D
ν 0
nombre de Prantdl Pr =
μ 0 c p
k 0
nombre d
� Eckert Ec =
c p T 0
V 2
0
Le groupement Pe = RePr est le nombre de Peclet. La combinaison c p T 0 /V 2
0
peut ˆ
etre transform´ ee de la mani` ere suivante en introduisant le rapport γ = c p /c v on
a c p = γ r/(γ − 1) et par suite :
c p T 0
V 2
0
=
γ rT 0
(γ − 1)V 2
0
=
1
(γ − 1)
c 2
0
V 2
0
o` u c 2
0 = γ r T 0 est la c´ el´ erit´ e du son `
a la temp´ erature T 0 , on a :
V 2
0
c p T 0
= (γ − 1) M
2
0
en faisant apparaˆ ıtre M 0 = V 0 /c 0 le nombre de Mach.
Par ailleurs l’exp´ erience montre que l’on a :