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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
Le rapport des forces d’inertie aux forces de viscosit´ e donne :
ρ V 2
0 /D
μ V 0 /D 2 =
ρ V 0 D
μ
= Re
Le rapport des forces d’inertie aux forces de pesanteur donne
ρ V 2
0 /D
ρ g
=
V 2
0
D g
= Fr
La n´ ecessit´ e de v´ erifier `
a la fois la condition de Reynolds et celle de Froude
entraˆ ıne :
g
1/2
1 D
3/2
1
ν 1
=
g
1/2
2 D
3/2
2
ν 2
ce qui limite les possibilit´ es de similitude compl` ete.
Si, en plus des forces de tension superficielles interviennent, elles doivent apparaˆ ıtre dans les ´
equations du mouvement sous forme de termes suppl´ ementaires.
On doit faire intervenir la tension interfaciale en faisant apparaˆ ıtre le nombre de
Weber We = ρV 2
0 D/σ , force d’inertie/force de tension interfaciale.
3.4.3 Ecoulements compressibles
Avec la compressibilit´ e se manifestent des ph´ enom` enes thermiques importants et
par cons´ equent nous devons prendre en compte aussi bien l’´ equation de l’´ energie
que les ´
equations de continuit´ e et de quantit´ e de mouvement ainsi que l’´ equation
d’´ etat.
a - nombres sans dimension
Dans l’´ etude du mouvement du gaz, on n´ eglige l’influence des forces de gravit´ e
devant celle des autres forces. Soit :
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + ∇ · τ
ρ c p
dT
dt
=
d p
dt
+ ∇ · (k∇T ) + Φ
et l’´ equation loi d’´ etat p/ρ = r T o` u
τ i j = μ
∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
+ η
∂V i
∂ x i
δ i j , Φ i j = τ i j
∂V i
∂ x i
avec la relation de Stokes : η = −2/3μ.