3.4 Similitude
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De tels ´
ecoulements, bien que diff´ erents, sont semblables au sens g´ en´ eral : ils
le sont g´ eom´ etriquement, cin´ ematiquement, dynamiquement. Les effets thermiques
feraient intervenir la similitude thermodynamique.
3.4.2 Ecoulement `
a surface libre
Il s’agit d’´ ecoulements de fluides incompressibles, pesants avec une ou plusieurs
surfaces libres non horizontales.
a - Condition de similitude de deux ´
ecoulements
Le long de toute surface libre la pression reste constante mais il n’est plus possible de laisser group´ es les termes. En effet pour une condition `
a la limite telle que
p = Cte nous n’aurons pas h = Cte et la valeur de p ∗ ne sera pas constante. Dans
les deux premi` eres ´
equations de Navier-Stokes, ne doit plus figurer h, quant `
a la
troisi` eme elle s’´ ecrit :
dw
dt
= −
1
ρ
∂ p
∂ z
−
1
ρ
∂ ρ g h
∂ z
+
μ
ρ
∇
2 w
soit
dw
dt
= −
1
ρ
∂ p
∂ z
− g +
μ
ρ
∇
2 w
En reprenant les mˆ emes grandeurs de r´ ef´ erence on obtient le syst` eme adimensionnel suivant :
du
dt
= −
∂ p
∂ x
+
1
Re
∇
2 u
dv
dt
= −
∂ p
∂ y
+
1
Re
∇
2 v
dw
dt
= −
∂ p
∂ z
−
1
Fr
+
1
Re
∇
2 w
o` u Fr = V 2
0 /gD est le nombre de Froude ou de Reech-Froude.
Si nous consid´ erons maintenant deux ´
ecoulements diff´ erents `
a surface libre,
l’identit´ e des ´
equations du mouvement est acquise si on a simultan´ ement :
Re 1 = Re 2 condition de Reynolds
Fr 1 = Fr 2 condition de Froude
Quand les surfaces qui limitent les deux ´
ecoulements sont g´ eom´ etriquement semblables, la similitude m´ ecanique des deux mouvements est assur´ ee avec ces conditions.
b - interpr´ etation de Re et de Fr