3.4 Similitude
65
du
dt
= −
∂ p
∂ x
+
1
Re
∇
2 u
dv
dt
= −
∂ p
∂ y
+
1
Re
∇
2 v
dw
dt
= −
∂ p
∂ z
+
1
Re
∇
2 w
ou sous forme vectorielle
∂ V
∂t
+ V · ∇V = −∇p +
1
Re
∇
2
V
o` u seul le nombre de Reynolds de l’´ ecoulement intervient.
Il faut aussi traduire en variables r´ eduites les conditions aux limites et initiale. sur
une surface libre horizontale, sur une surface donn´ ee par exemple par l’adh´ erence `
a
la paroi.
• p = p 0 sur une surface libre horizontale
• V = V 0 sur une surface d´ efinie par f (x, y, z) = 0 par exemple l’adh´ erence sur une
paroi solide.
• condition initiale V = V 0 sur g(x, y, z) = 0 pour t < t 0 .
b - condition de similitude de deux ´
ecoulements
Consid´ erons deux ´
ecoulements en charge. Les ´
equations du mouvement sont
identiques si les nombres de Reynolds des deux ´
ecoulements sont ´
egaux :
Re 1 = Re 2
C’est la condition de Reynolds.
En cons´ equence, leurs solutions sont identiques si la d´ efinition de chaque syst` eme
s’exprime de la mˆ eme fac ¸on en variables r´ eduites. On voit que la similitude des
fronti` eres g´ eom´ etriques est indispensable ; les parois solides doivent ˆ
etre g´ eom´ etriquement semblables (Fig. 3.5). La condition de similitude des ´
equations est unique,
c’est une ´
egalit´ e entre nombres de Reynolds.
Les coordonn´ ees de deux points homologues M 1 et M 2 sont telles que :
x =
x �
1
D 1
=
x �
2
D 2
,
y �
1
D 1
=
y �
2
D 2
,
z �
1
D 1
=
z �
2
D 2
x 1
x 2
=
y 1
y 2
=
z 1
z 2
=
D 1
D 2
= Cte
Ces relations traduisent la similitude g´ eom´ etrique
Les temps homologues sont tels que :
t =
t �
1
D 1 /V 01
=
t �
2
D 2 /V 02
Les composantes de vitesses homologues sont telles que :
65
du
dt
= −
∂ p
∂ x
+
1
Re
∇
2 u
dv
dt
= −
∂ p
∂ y
+
1
Re
∇
2 v
dw
dt
= −
∂ p
∂ z
+
1
Re
∇
2 w
ou sous forme vectorielle
∂ V
∂t
+ V · ∇V = −∇p +
1
Re
∇
2
V
o` u seul le nombre de Reynolds de l’´ ecoulement intervient.
Il faut aussi traduire en variables r´ eduites les conditions aux limites et initiale. sur
une surface libre horizontale, sur une surface donn´ ee par exemple par l’adh´ erence `
a
la paroi.
• p = p 0 sur une surface libre horizontale
• V = V 0 sur une surface d´ efinie par f (x, y, z) = 0 par exemple l’adh´ erence sur une
paroi solide.
• condition initiale V = V 0 sur g(x, y, z) = 0 pour t < t 0 .
b - condition de similitude de deux ´
ecoulements
Consid´ erons deux ´
ecoulements en charge. Les ´
equations du mouvement sont
identiques si les nombres de Reynolds des deux ´
ecoulements sont ´
egaux :
Re 1 = Re 2
C’est la condition de Reynolds.
En cons´ equence, leurs solutions sont identiques si la d´ efinition de chaque syst` eme
s’exprime de la mˆ eme fac ¸on en variables r´ eduites. On voit que la similitude des
fronti` eres g´ eom´ etriques est indispensable ; les parois solides doivent ˆ
etre g´ eom´ etriquement semblables (Fig. 3.5). La condition de similitude des ´
equations est unique,
c’est une ´
egalit´ e entre nombres de Reynolds.
Les coordonn´ ees de deux points homologues M 1 et M 2 sont telles que :
x =
x �
1
D 1
=
x �
2
D 2
,
y �
1
D 1
=
y �
2
D 2
,
z �
1
D 1
=
z �
2
D 2
x 1
x 2
=
y 1
y 2
=
z 1
z 2
=
D 1
D 2
= Cte
Ces relations traduisent la similitude g´ eom´ etrique
Les temps homologues sont tels que :
t =
t �
1
D 1 /V 01
=
t �
2
D 2 /V 02
Les composantes de vitesses homologues sont telles que :