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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
3.4.1 Ecoulements en charge d’un fluide visqueux
incompressible dans le champ de pesanteur
En d´ esignant par h la cote d’un point, les ´
equations du mouvement (Navier-Stokes)
s’´ ecrivent :
du
dt
= −
1
ρ
∂
∂ x
(p + ρ g h) +
μ
ρ
∇
2 u
dv
dt
= −
1
ρ
∂
∂ y
(p + ρ g h) +
μ
ρ
∇
2 v
dw
dt
= −
1
ρ
∂
∂ z
(p + ρ g h) +
μ
ρ
∇
2 w
avec
d
dt
=
∂
∂t
+ u
∂
∂ x
+ v
∂
∂ y
+ w
∂
∂ z
Equation de continuit´ e
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
+
∂ w
∂ z
= 0
Equation d’´ etat : ρ = Cte.
L’´ ecoulement est isotherme ; l’´ equation de l’´ energie n’intervient pas. On ´
ecrit
d’autre part la pression motrice p ∗ = p + ρ g h.
Nous avons donc quatre ´
equations `
a quatre inconnues u, v, w et p consid´ er´ ees
comme fonctions de x, y, z,t. La pesanteur n’apparaˆ ıt plus explicitement dans les
´
ecoulements en charge.
a - variables r´ eduites
D´ esignons par D une dimension lin´ eaire caract´ eristique de l’´ ecoulement ´
etudi´ e :
largeur, diam` etre, etc... `
a partir de laquelle on construit des grandeurs de r´ ef´ erence
x =
x �
D
, y =
y �
D
, z =
z �
D
On choisit de mˆ eme une vitesse de r´ ef´ erence V 0 ; le temps ´
etant alors rendu adimensionnel par D/V 0 homog` ene `
a un temps ; la pression ´
etant rendue adimensionnelle par ρ V 2
0 . d’o` u
x =
x �
D
, V =
V �
V 0
, t =
t � V 0
D
, p =
p �
ρV 2
0
Les primes correspondant aux variables r´ eelles n’apparaissaient pas auparavant.
Le syst` eme d’´ equations avec les variables r´ eduites devient