3.3 Analyse adimensionnelle
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3.3.2 Corps solide dans un fluide en ´
ecoulement stationnaire
Soit un corps de forme g´ eom´ etrique donn´ ee. Les grandeurs qui interviennent sont :
• une longueur caract´ eristique du corps L,
• la vitesse du courant non perturb´ e V ,
• la masse volumique du fluide ρ ,
• sa viscosit´ e μ,
• la force exerc´ ee sur le corps R,
• l’acc´ el´ eration de la pesanteur g,
• le coefficient de compressibilit´ e adiabatique ou la c´ el´ erit´ e du son dans le fluide
c, χ s = 1/ρc 2
soit sept grandeurs de nature physique diff´ erente (n=7).
L’´ equation physique est de la forme
f (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 , q 6 , q 7 ) = 0
Les unit´ es fondamentales sont au nombre de trois : longueur, masse et temps
L, M, T , (k=3), n-k = 4 et l’´ equation pr´ ec´ edente peut ˆ
etre remplac´ ee par l’´ equation
Ψ (Π 1 , Π 2 , Π 3 , Π 4 ) = 0.
Prenons comme variables fondamentales L,V, ρ. On aura
Π 1 = [L
α 1 V
β 1 ρ
γ 1 R] = [M
0 L
0 T
0
]
Π 2 = [L
α 2 V
β 2 ρ
γ 2 μ] = [M
0 L
0 T
0
]
Π 3 = [L
α 3 V
β 3 ρ
γ 3 g] = [M
0 L
0 T
0
]
Π 4 = [L
α 4 V
β 4 ρ
γ 4 a] = [M
0 L
0 T
0
]
En ´
ecrivant que Π 1 est sans dimension on trouve α 1 = −2, β 1 = −2, γ 1 = −1
d’o` u
Π 1 =
R
ρ V 2 L 2
Pour Π 2 , on a :
Π 2 =
μ
ρ V L
On prend plutˆ ot comme coefficient sans dimension l’inverse du nombre pr´ ec´ edent
ou nombre de Reynolds Re = ρ V L/μ qui intervient dans les ´
ecoulements visqueux.
Π 3 =
L g
V 2
On utilise ici aussi l’inverse ou nombre de Froude