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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
3.3.1 Vitesse du son dans un gaz
La vitesse du son dans un gaz c d´ epend `
a priori d’un certain nombre de
grandeurs physiques, la masse volumique ρ, la temp´ erature T , la pression p, la
viscosit´ e μ, etc. Il s’agit de trouver les seuls param` etres physiques significatifs et de
donner l’expression de la vitesse du son en fonction de ces param` etres.
On choisira la masse volumique ρ, la pression p, la viscosit´ e μ pour exprimer
dans un premier temps la vitesse du son et on montrera que la vitesse du son est
ind´ ependante de la viscosit´ e.
Toutes ces grandeurs c, ρ, p, μ s’expriment en fonction des trois unit´ es fondamentales longueur L, masse M, temps T , k = 3, n − k = 1 et l’´ equation pr´ ec´ edente
est ´
equivalente `
a l’´ equation Ψ (Π 1 ) = 0.
Prenons μ, p, ρ comme variables fondamentales le coefficient sans dimensions
Π 1 sera donn´ e par :
[Π 1 ] = [μ
α p
β
ρ
γ c] = [M
0 L
0 T
0
]
soit
[M
α L
−α T
−α M
β L
−β T
−2β M
γ L
−3γ LT
−1
] = [M
0 L
0 T
0
]
d’o` u le syst` eme
⎧
⎨
⎩
α + β + γ = 0
−α − β − 3γ + 1 = 0
−α − 2β − 1 = 0
dont la solution est α = 0, β = −1/2, γ = 1/2 et
[Π 1 ] =
√
ρc
√ p
La relation Ψ (Π 1 ) = 0 conduit `
a Π = Cte et
c = A
� p
ρ
La vitesse du son est donc ind´ ependante de la viscosit´ e μ. La valeur de la constante
doit ˆ
etre fournie par l’exp´ erience. Dans le cas d’un gaz parfait, on a :
c =
�
γ
p
ρ
ici γ = c p /c v .