3.3 Analyse adimensionnelle
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Le th´ eor` eme de Vashy-Buckingham ´
etablit que partant d’une telle relation,
il est possible de grouper les n param` etres en n-k produits ind´ ependants sans dimension, form´ es par combinaison, avec des exposants convenables, de k grandeurs
choisies parmi les n, successivement avec chacune des n-k restantes.
Le nombre k est g´ en´ eralement ´
egal au nombre minimal d’unit´ es fondamentales
n´ ecessaires pour d´ efinir les dimensions des param` etres q 1 , q 2 , q 3 , ...., q n . Par exemple k sera ´
egal `
a 3 si les grandeurs n´ ecessaires se limitent aux unit´ es fondamentales,
masse, longueur, temps ; la valeur de k serait port´ ee `
a 4 si la temp´ erature devait
intervenir.
D’apr` es le th´ eor` eme de Vashy-Buckingham, l’´ equation initiale est donc ´
equivalente
`
a une ´
equation du type :
Ψ (Π 1 , Π 2 , ...., Π n−k ) = 0
c’est l’exp´ erience qui fournira la forme de la fonction .
L’application du th´ eor` eme de Vashy-Buckingham comportera donc les ´
etapes
suivantes:
• Etablir la liste de toutes les grandeurs physiques q intervenant dans le ph´ enom` ene
´
etudi´ e et pr´ eciser les unit´ es fondamentales correspondantes. Le nombre de ces
dimensions a ´
et´ e d´ esign´ e par k.
• Ecrire les ´
equations dimensionnelles des n grandeurs q.
• Choisir parmi ces grandeurs un ensemble de k grandeurs de dimensions diff´ erentes,
ensemble faisant intervenir toutes les unit´ es fondamentales en cause et former la
suite des produits Π en associant successivement les k variables choisies aux
n − k restantes.
• Etablir les ´
equations aux dimensions des produits Π ainsi form´ es et exprimer
que chacun d’eux est sans dimension. On obtiendra ainsi n − k ´
equations que
l’on r´ esoudra pour obtenir les expressions des n − k groupes sans dimension.
On remarquera que le choix des k grandeurs initiales qui d´ eterminent les produits
Π est arbitraire et qu’il y a autant de solutions que de combinaisons `
a k. Cependant
parmi les produits Π susceptibles d’ˆ etre ainsi obtenus, seuls certains ont un int´ erˆ et
pratique, ce sont ceux qui sont connus pour intervenir dans les lois physiques fondamentales, le nombre de Reynolds par exemple. On s’attachera `
a ne conserver dans
la solution que ces coefficients. Si l’on a fait figurer deux grandeurs de mˆ eme nature
parmi les variables q elles interviendront dans la fonction Ψ uniquement par leur
rapport d/d � , deux longueurs par exemple.
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Le th´ eor` eme de Vashy-Buckingham ´
etablit que partant d’une telle relation,
il est possible de grouper les n param` etres en n-k produits ind´ ependants sans dimension, form´ es par combinaison, avec des exposants convenables, de k grandeurs
choisies parmi les n, successivement avec chacune des n-k restantes.
Le nombre k est g´ en´ eralement ´
egal au nombre minimal d’unit´ es fondamentales
n´ ecessaires pour d´ efinir les dimensions des param` etres q 1 , q 2 , q 3 , ...., q n . Par exemple k sera ´
egal `
a 3 si les grandeurs n´ ecessaires se limitent aux unit´ es fondamentales,
masse, longueur, temps ; la valeur de k serait port´ ee `
a 4 si la temp´ erature devait
intervenir.
D’apr` es le th´ eor` eme de Vashy-Buckingham, l’´ equation initiale est donc ´
equivalente
`
a une ´
equation du type :
Ψ (Π 1 , Π 2 , ...., Π n−k ) = 0
c’est l’exp´ erience qui fournira la forme de la fonction .
L’application du th´ eor` eme de Vashy-Buckingham comportera donc les ´
etapes
suivantes:
• Etablir la liste de toutes les grandeurs physiques q intervenant dans le ph´ enom` ene
´
etudi´ e et pr´ eciser les unit´ es fondamentales correspondantes. Le nombre de ces
dimensions a ´
et´ e d´ esign´ e par k.
• Ecrire les ´
equations dimensionnelles des n grandeurs q.
• Choisir parmi ces grandeurs un ensemble de k grandeurs de dimensions diff´ erentes,
ensemble faisant intervenir toutes les unit´ es fondamentales en cause et former la
suite des produits Π en associant successivement les k variables choisies aux
n − k restantes.
• Etablir les ´
equations aux dimensions des produits Π ainsi form´ es et exprimer
que chacun d’eux est sans dimension. On obtiendra ainsi n − k ´
equations que
l’on r´ esoudra pour obtenir les expressions des n − k groupes sans dimension.
On remarquera que le choix des k grandeurs initiales qui d´ eterminent les produits
Π est arbitraire et qu’il y a autant de solutions que de combinaisons `
a k. Cependant
parmi les produits Π susceptibles d’ˆ etre ainsi obtenus, seuls certains ont un int´ erˆ et
pratique, ce sont ceux qui sont connus pour intervenir dans les lois physiques fondamentales, le nombre de Reynolds par exemple. On s’attachera `
a ne conserver dans
la solution que ces coefficients. Si l’on a fait figurer deux grandeurs de mˆ eme nature
parmi les variables q elles interviendront dans la fonction Ψ uniquement par leur
rapport d/d � , deux longueurs par exemple.