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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
3.3 Analyse adimensionnelle
Pour d´ eterminer compl` etement la relation finale (F), il est en g´ en´ eral n´ ecessaire
de proc´ eder `
a la r´ esolution effective du probl` eme pos´ e par la relation de d´ epart
(D). Toutefois, on peut se demander s’il est possible, sans r´ esoudre (D), de pr´ evoir
certains caract` eres de (F), et en particulier sa forme g´ en´ erale, `
a partir des seules
propri´ et´ es de (D).
La premi` ere propri´ et´ e qui vient `
a l’esprit est que toutes les relations entre
grandeurs physiques sont dimensionnellement homog` enes, c’est-` a-dire invariantes
quel que soit le syst` eme d’unit´ es fondamentales choisi. On d´ efinit ainsi des grandeurs
sans dimension dites ”param` etres de similitude”.
L’emploi de param` etres sans dimension pour repr´ esenter les donn´ ees de l’exp´ erience pr´ esente l’avantage de simplifier la pr´ esentation des r´ esultats, tout en r´ eduisant
l’importance de l’exp´ erimentation `
a effectuer pour ´
etudier un ph´ enom` ene particulier.
Supposons par exemple, qu’il s’agisse de d´ eterminer par l’exp´ erience la force R
`
a laquelle est soumise une sph` ere `
a paroi lisse immerg´ ee dans un courant uniforme
`
a faible vitesse. On peut supposer une loi du type :
R = F(D,V 0 , ρ, μ)
o` u D est le diam` etre de la sph` ere, V 0 la vitesse du courant. L’analyse dimensionnelle
permet d’´ etablir que la relation donnant la r´ esistance R est de la forme :
R
ρV 2
0 D 2 = Φ
V 0 Dρ
μ
= Φ(Re)
relation o` u n’interviennent finalement que deux param` etres, le nombre de Reynolds
et l’expression R/(ρV 2
0 D 2 ). Pour d´ eterminer la forme de fonction Φ , il suffira de
faire varier le nombre de Reynolds, ce qui pourra ˆ
etre obtenu par une simple variation de la vitesse.
L’analyse dimensionnelle repose sur le th´ eor` eme de Vashy-Buckingham. D’une
mani` ere g´ en´ erale pour un ph´ enom` ene physique quelconque, la forme g´ en´ erale de la
relation donnant une grandeur q 1 peut ˆ
etre ´
ecrite :
q 1 = g(q 2 , q 3 , ...., q n )
en supposant la grandeur q 1 fonction de n−1 param` etres ind´ ependants q 2 , q 3 , ...., q n .
La relation pr´ ec´ edente peut ˆ
etre mise sous la forme ´
equivalente :
f (q 1 , q 2 , q 3 , ...., q n ) = 0
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
3.3 Analyse adimensionnelle
Pour d´ eterminer compl` etement la relation finale (F), il est en g´ en´ eral n´ ecessaire
de proc´ eder `
a la r´ esolution effective du probl` eme pos´ e par la relation de d´ epart
(D). Toutefois, on peut se demander s’il est possible, sans r´ esoudre (D), de pr´ evoir
certains caract` eres de (F), et en particulier sa forme g´ en´ erale, `
a partir des seules
propri´ et´ es de (D).
La premi` ere propri´ et´ e qui vient `
a l’esprit est que toutes les relations entre
grandeurs physiques sont dimensionnellement homog` enes, c’est-` a-dire invariantes
quel que soit le syst` eme d’unit´ es fondamentales choisi. On d´ efinit ainsi des grandeurs
sans dimension dites ”param` etres de similitude”.
L’emploi de param` etres sans dimension pour repr´ esenter les donn´ ees de l’exp´ erience pr´ esente l’avantage de simplifier la pr´ esentation des r´ esultats, tout en r´ eduisant
l’importance de l’exp´ erimentation `
a effectuer pour ´
etudier un ph´ enom` ene particulier.
Supposons par exemple, qu’il s’agisse de d´ eterminer par l’exp´ erience la force R
`
a laquelle est soumise une sph` ere `
a paroi lisse immerg´ ee dans un courant uniforme
`
a faible vitesse. On peut supposer une loi du type :
R = F(D,V 0 , ρ, μ)
o` u D est le diam` etre de la sph` ere, V 0 la vitesse du courant. L’analyse dimensionnelle
permet d’´ etablir que la relation donnant la r´ esistance R est de la forme :
R
ρV 2
0 D 2 = Φ
V 0 Dρ
μ
= Φ(Re)
relation o` u n’interviennent finalement que deux param` etres, le nombre de Reynolds
et l’expression R/(ρV 2
0 D 2 ). Pour d´ eterminer la forme de fonction Φ , il suffira de
faire varier le nombre de Reynolds, ce qui pourra ˆ
etre obtenu par une simple variation de la vitesse.
L’analyse dimensionnelle repose sur le th´ eor` eme de Vashy-Buckingham. D’une
mani` ere g´ en´ erale pour un ph´ enom` ene physique quelconque, la forme g´ en´ erale de la
relation donnant une grandeur q 1 peut ˆ
etre ´
ecrite :
q 1 = g(q 2 , q 3 , ...., q n )
en supposant la grandeur q 1 fonction de n−1 param` etres ind´ ependants q 2 , q 3 , ...., q n .
La relation pr´ ec´ edente peut ˆ
etre mise sous la forme ´
equivalente :
f (q 1 , q 2 , q 3 , ...., q n ) = 0