3.2 Conditions aux limites
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ϕ = −k ∇T + h (T − T 0 ) n
L’application du th´ eor` eme de la divergence :
Σ
ϕ · n ds =
Ω
∇ · ϕ dv
conduit `
a la forme locale
∇ · (−k ∇T ) + ∇ · (h (T − T 0 ) n)
Le second terme s’´ ecrit formellement :
∂
∂ n
(h (T − T 0 )) =
h
δ
(T − T 0 )
o` u δ est la longueur caract´ eristique de la couche limite thermique o` u la temp´ erature
peut ˆ
etre consid´ er´ e constante et ´
egale `
a T 0 . Dans la pratique num´ erique cette
longueur sera ´
egale `
a l’´ epaisseur de la demi-maille dans la direction normale `
a
l’interface δ = Δ n/2.
Fig. 3.4 Coefficient d’´ echange B volumique mod´ elisant le transfert thermique par convection entre
un domaine plan (P) et le milieu ext´ erieur `
a temp´ erature T 0
On peut d´ efinir ainsi un coefficient d’´ echange volumique B = h/(δ /2) qui servira
`
a d´ ecrire l’´ echange entre un volume ´
el´ ementaire inclus dans le domaine et le milieu
ext´ erieur (Fig. 3.4). Une image 2D donn´ ee ici correspond `
a un transfert thermique
entre le plan (P) et le milieu ext´ erieur. Le transfert conductif s’effectue dans le plan
P alors que l’´ echange convectif est normal `
a ce plan.
Le r´ esultat de ce concept permet d’´ ecrire une ´
equation de l’´ energie sans condition
`
a la limite :
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + B (T − T 0 )