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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
propri´ et´ es homog´ en´ eis´ es de ces milieux pour les cas limites (faibles concentrations,
arrangements particuliers, ...). Le cas g´ en´ eral de mat´ eriaux p´ eriodiques al´ eatoires
ou non (comme dans cet exemple) peut ˆ
etre trait´ e par la voie num´ erique en adoptant
les conditions aux limites pr´ ecis´ ees ci-dessus.
3.2.4 Int´ egration des conditions aux limites dans les ´
equations
Les diff´ erentes conditions aux limites m´ ecaniques et thermiques expos´ ees ci-dessus
sont applicables lorsque l’on s’int´ eresse plus particuli` erement `
a l’un des milieux. Par
exemple pour le cas d’un ´
ecoulement autour d’une aile d’avion dans une soufflerie
o` u la surface de l’aile est consid´ er´ ee comme un solide imperm´ eable immobile. La
condition d’adh´ erence suffit `
a elle seule pour analyser l’´ ecoulement et de ne plus se
pr´ eoccuper du solide. Le cas du transfert de chaleur dans un solide ´
echangeant un
flux avec le milieu ext´ erieur peut aussi ˆ
etre mod´ elis´ e par une simple loi d’´ echange
lin´ eaire si le ph´ enom` ene important est pr´ ecis´ ement celui de la diffusion thermique
interne.
Les situations sont bien plus complexes dans la plupart des cas o` u les couplages
entre les diff´ erents milieux (en fluide-structure par exemple) conduisent `
a ´
ecrire
explicitement toutes les conditions cin´ ematiques, dynamiques et thermiques aux interfaces. La multiplication des interfaces au sein d’un mˆ eme domaine (population
de bulles dans un liquide) rend inextricable le probl` eme `
a r´ esoudre.
Une alternative consiste `
a impliciter les conditions aux limites dans l’´ equation
de conservation consid´ er´ ee. Ce proc´ ed´ e ne facilite pas pour autant la r´ esolution
analytique du probl` eme pos´ e mais permet de rendre plus robustes les algorithmes
num´ eriques pour les simulations.
3.2.4.1 Equation de l’´ energie
Prenons par exemple le cas du transfert de chaleur dans un fluide contenu dans un
domaine Ω limit´ e par la surface Σ . Ce domaine ´
echange de la chaleur par convection avec le milieu ext´ erieur dont la temp´ erature T 0 est consid´ er´ ee comme uniforme
et constante. Le probl` eme pos´ e conduirait classiquement au syst` eme d’´ equations
suivant :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (k ∇T )
−k∇T · n = h (T − T 0 ) sur Σ
Supposons maintenant que le flux de chaleur s’´ ecrit comme la superposition d’un
flux de conduction fix´ e par la loi de Fourier et d’un flux convectif donn´ e par la loi
de Newton :
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
propri´ et´ es homog´ en´ eis´ es de ces milieux pour les cas limites (faibles concentrations,
arrangements particuliers, ...). Le cas g´ en´ eral de mat´ eriaux p´ eriodiques al´ eatoires
ou non (comme dans cet exemple) peut ˆ
etre trait´ e par la voie num´ erique en adoptant
les conditions aux limites pr´ ecis´ ees ci-dessus.
3.2.4 Int´ egration des conditions aux limites dans les ´
equations
Les diff´ erentes conditions aux limites m´ ecaniques et thermiques expos´ ees ci-dessus
sont applicables lorsque l’on s’int´ eresse plus particuli` erement `
a l’un des milieux. Par
exemple pour le cas d’un ´
ecoulement autour d’une aile d’avion dans une soufflerie
o` u la surface de l’aile est consid´ er´ ee comme un solide imperm´ eable immobile. La
condition d’adh´ erence suffit `
a elle seule pour analyser l’´ ecoulement et de ne plus se
pr´ eoccuper du solide. Le cas du transfert de chaleur dans un solide ´
echangeant un
flux avec le milieu ext´ erieur peut aussi ˆ
etre mod´ elis´ e par une simple loi d’´ echange
lin´ eaire si le ph´ enom` ene important est pr´ ecis´ ement celui de la diffusion thermique
interne.
Les situations sont bien plus complexes dans la plupart des cas o` u les couplages
entre les diff´ erents milieux (en fluide-structure par exemple) conduisent `
a ´
ecrire
explicitement toutes les conditions cin´ ematiques, dynamiques et thermiques aux interfaces. La multiplication des interfaces au sein d’un mˆ eme domaine (population
de bulles dans un liquide) rend inextricable le probl` eme `
a r´ esoudre.
Une alternative consiste `
a impliciter les conditions aux limites dans l’´ equation
de conservation consid´ er´ ee. Ce proc´ ed´ e ne facilite pas pour autant la r´ esolution
analytique du probl` eme pos´ e mais permet de rendre plus robustes les algorithmes
num´ eriques pour les simulations.
3.2.4.1 Equation de l’´ energie
Prenons par exemple le cas du transfert de chaleur dans un fluide contenu dans un
domaine Ω limit´ e par la surface Σ . Ce domaine ´
echange de la chaleur par convection avec le milieu ext´ erieur dont la temp´ erature T 0 est consid´ er´ ee comme uniforme
et constante. Le probl` eme pos´ e conduirait classiquement au syst` eme d’´ equations
suivant :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (k ∇T )
−k∇T · n = h (T − T 0 ) sur Σ
Supposons maintenant que le flux de chaleur s’´ ecrit comme la superposition d’un
flux de conduction fix´ e par la loi de Fourier et d’un flux convectif donn´ e par la loi
de Newton :