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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
• Condition de Dirichlet :
T (x, y, z,t) = T 1 (x, y, z,t) sur Σ 1
la surface Σ 1 est dite isotherme.
L’isothermicit´ e d’une surface est difficile `
a obtenir avec une grande pr´ ecision
particu-li` erement sur des surfaces de grandes dimensions. En fait il est n´ ecessaire,
pour appliquer une telle condition strictement, de pouvoir extraire instantan´ ement
tout flux de chaleur r´ esultant d’un apport ext´ erieur `
a travers la surface d’´ echange.
Celle-ci doit donc ˆ
etre de grande conductivit´ e thermique. De grandes densit´ es de
flux de chaleur peuvent ˆ
etre extraites en utilisant la chaleur de vaporisation de
fluides caloporteurs.
• Condition de Neumann :
ϕ · n = −k∇T · n = ϕ 0 sur Σ 2
la surface Σ 2 est soumise `
a un flux constant. On impose un flux ϕ 0 sur la surface.
Si le flux est nul ϕ 0 = 0, on dit que la surface est adiabatique, parfaitement isol´ ee
thermiquement. Cette condition est applicable tr` es souvent pour des raisons de
sym´ etrie : plans de sym´ etrie, sym´ etrie axiale etc. Il est toujours judicieux dans
ces cas de localiser l’origine d’une des coordonn´ ees sur ce plan et de rechercher
la solution du probl` eme que sur une partie du domaine.
De mani` ere pratique on applique ce type de condition `
a la limite en disposant une
source radiative `
a proximit´ e de la surface ou bien en r´ epartissant une r´ esistance
´
electrique de mani` ere homog` ene sur celle-ci.
• Condition de Fourier ou mixte :
ϕ · n = −k∇T · n = h (T − T 0 ) + ϕ 0 sur Σ 3
Le coefficient d’´ echange h caract´ erise le flux emport´ e par convection par le fluide
ext´ erieur `
a temp´ erature T 0 .
Il est `
a noter que la derni` ere condition de type Fourier permet de retrouver les
deux premi` eres en adoptant le coefficient d’´ echange `
a une valeur nulle (Neumann) ou infinie (Dirichlet). Dans le cas g´ en´ eral le coefficient h d´ epend de la
vitesse du fluide ext´ erieur et de ses propri´ et´ es thermophysiques mais aussi de la
topologie du solide, de l’´ ecart de temp´ erature, etc. L’utilisation de ce coefficient
non intrins` eque correspond `
a une mod´ elisation tr` es grossi` ere des ph´ enom` enes
o` u le concept thermodynamique bas´ e sur l’´ egalit´ e des flux et des forces par
l’interm´ ediaire d’un coefficient ph´ enom´ eno-logique est encore appliqu´ e.
3.2.3 Conditions aux limites p´ eriodiques
La condition de p´ eriodicit´ e n’est pas incluse parmi les conditions expos´ ees pr´ ec´ edemment. Elle s’exprime simplement que les variables retrouvent les mˆ emes valeurs
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
• Condition de Dirichlet :
T (x, y, z,t) = T 1 (x, y, z,t) sur Σ 1
la surface Σ 1 est dite isotherme.
L’isothermicit´ e d’une surface est difficile `
a obtenir avec une grande pr´ ecision
particu-li` erement sur des surfaces de grandes dimensions. En fait il est n´ ecessaire,
pour appliquer une telle condition strictement, de pouvoir extraire instantan´ ement
tout flux de chaleur r´ esultant d’un apport ext´ erieur `
a travers la surface d’´ echange.
Celle-ci doit donc ˆ
etre de grande conductivit´ e thermique. De grandes densit´ es de
flux de chaleur peuvent ˆ
etre extraites en utilisant la chaleur de vaporisation de
fluides caloporteurs.
• Condition de Neumann :
ϕ · n = −k∇T · n = ϕ 0 sur Σ 2
la surface Σ 2 est soumise `
a un flux constant. On impose un flux ϕ 0 sur la surface.
Si le flux est nul ϕ 0 = 0, on dit que la surface est adiabatique, parfaitement isol´ ee
thermiquement. Cette condition est applicable tr` es souvent pour des raisons de
sym´ etrie : plans de sym´ etrie, sym´ etrie axiale etc. Il est toujours judicieux dans
ces cas de localiser l’origine d’une des coordonn´ ees sur ce plan et de rechercher
la solution du probl` eme que sur une partie du domaine.
De mani` ere pratique on applique ce type de condition `
a la limite en disposant une
source radiative `
a proximit´ e de la surface ou bien en r´ epartissant une r´ esistance
´
electrique de mani` ere homog` ene sur celle-ci.
• Condition de Fourier ou mixte :
ϕ · n = −k∇T · n = h (T − T 0 ) + ϕ 0 sur Σ 3
Le coefficient d’´ echange h caract´ erise le flux emport´ e par convection par le fluide
ext´ erieur `
a temp´ erature T 0 .
Il est `
a noter que la derni` ere condition de type Fourier permet de retrouver les
deux premi` eres en adoptant le coefficient d’´ echange `
a une valeur nulle (Neumann) ou infinie (Dirichlet). Dans le cas g´ en´ eral le coefficient h d´ epend de la
vitesse du fluide ext´ erieur et de ses propri´ et´ es thermophysiques mais aussi de la
topologie du solide, de l’´ ecart de temp´ erature, etc. L’utilisation de ce coefficient
non intrins` eque correspond `
a une mod´ elisation tr` es grossi` ere des ph´ enom` enes
o` u le concept thermodynamique bas´ e sur l’´ egalit´ e des flux et des forces par
l’interm´ ediaire d’un coefficient ph´ enom´ eno-logique est encore appliqu´ e.
3.2.3 Conditions aux limites p´ eriodiques
La condition de p´ eriodicit´ e n’est pas incluse parmi les conditions expos´ ees pr´ ec´ edemment. Elle s’exprime simplement que les variables retrouvent les mˆ emes valeurs