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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
La condition dynamique s’exprime en admettant que l’interface soumise `
a des contraintes de pression, de viscosit´ e et de tensions interfaciales est en ´
equilibre.
La tension superficielle est par d´ efinition l’´ energie libre par unit´ e de surface
(ou force par par unit´ e de longueur) associ´ ee `
a la formation de la surface consid´ er´ ee. La prise en compte de la tension superficielle induit deux forces surfaciques
suppl´ ementaires:
dγ
ds
τ et −
γ
R
n
qui caract´ erisent respectivement l’influence tangentielle et l’influence normale de la
tension superficielle; R est le rayon de courbure.
Une condition plus g´ en´ erale encore peut ˆ
etre ´
ecrite si, en plus de la force normale,
on consid` ere que la tension superficielle γ varie sur l’interface. C’est le cas si la
temp´ erature varie sur celle-ci, c’est l’effet Marangoni.
Une force tangentielle f t = ∇γ s’exerce tangentiellement `
a l’interface. La condition g´ en´ erale s’´ ecrit alors :
σ
(2)
ik − σ
(1)
ik
n k = γ
1
R
+
1
R �
n i −
∂ γ
∂ x i
soit
τ
(1)
ik − τ
(2)
ik
n k =
p
(1) − p
(2)
n i − γ
1
R
+
1
R �
n i +
∂ γ
∂ x i
γ est la tension superficielle du couple de fluide; R et R � sont les deux rayons de
courbure principaux de l’interface et τ est le d´ eviateur des contraintes.
Dans la cas statique o` u les vitesses et le tenseur du taux de d´ eformation sont nuls
et sans effet Marangoni on retrouve la loi de Laplace :
p
(1) − p
(2)
= γ
1
R
+
1
R �
qui exprime la surpression due `
a la courbure de l’interface. La surpression est localis´ ee dans le fluide qui a sa surface convexe.
Pour une goutte sph´ erique de rayon R on obtient :
Δ p =
2 γ
R
et pour une bulle, qui comprend deux interfaces, on a :
Δ p =
4 γ
R