3.2 Conditions aux limites
49
3.2.1 Conditions aux limites m´ ecaniques :
Consid´ erons le probl` eme g´ en´ eral du mouvement d’une interface entre deux fluides
immiscibles (Fig. 3.1). Si F(x,t) est l’´ equation de l’interface et le point g´ eom´ etrique
M correspondant aux coordonn´ ees de Lagrange x (1) (t) = x (2) (t) on a, au cours de
l’´ evolution :
F(x
(1) ,t) = F(x
(2) ,t) = 0 ∀ t
En coordonn´ ees de Lagrange la d´ eriv´ ee de F s’´ ecrit :
d F
d t
= 0
Fig. 3.1 Interface Σ s´ eparant deux milieux non miscibles (1) et (2) avec une normale orient´ ee vers
(2)
Soit, en variables d’Euler :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ F
∂t
+ V
(1) · ∇F = 0
∂ F
∂t
+ V
(2) · ∇F = 0
La v´ erification simultan´ ee de ces ´
equations conduit `
a :
�
V
(1) − V
(2)
�
· ∇F = 0
Comme ces deux vecteurs sont colin´ eaires entre eux et orthogonaux `
a l’interface, la
vitesse normale est la mˆ eme pour les deux fluides. Si les composantes tangentielles
sont les mˆ emes, la condition cin´ ematique s’´ ecrit :
V
(1)
(M,t) = V
(2)
(M,t)