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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
L’ensemble de cette formulation constitue la relation de d´ epart (D):
(D)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + f + ∇ ·
� μ
� ∇V + ∇
t
V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
R´ esoudre le probl` eme pos´ e par la relation de d´ epart (D) consiste `
a rechercher
en fonction des grandeurs connues les diverses grandeurs inconnues (ρ, V, p, T )
qui interviennent dans (D) ; l’ensemble des relations auxquelles on veut aboutir
constitue la relation finale (F).
Dans certains probl` emes physiques il peut arriver que l’on sache ´
ecrire la solution g´ en´ erale du probl` eme, c’est-` a-dire plus pr´ ecis´ ement la forme analytique que
doit prendre (F), ind´ ependamment des conditions initiales et des conditions limites
propres au probl` eme particulier ´
etudi´ e. Ce n’est pas le cas du syst` eme pr´ ec´ edent.
Nous sommes conduits `
a envisager deux types d’approches :
• 1 - Rechercher (F) ou tout au moins le plus de renseignements possibles sur (F),
en utilisant les propri´ et´ es de la totalit´ e de la relation de d´ epart (D) ; c’est l’objet de
l’analyse dimensionnelle et de la similitude qui permettent parfois d’obtenir des
solutions exactes et sont, de toute fac ¸on, d’importance capitale pour une ´
etude
exp´ erimentale, en d´ egageant la notion de param` etre de similitude.
• 2 - Rechercher, non plus (F) mais une approximation (F’) de (F) en partant d’une
relation de d´ epart approch´ ee (D’) plus commode ; c’est le but des m´ ethodes de
perturbation d’une part et des m´ ethodes num´ eriques d’autre part.
Quelle que soit l’approche retenue, nous supposerons toujours que la nature
physique du probl` eme entraˆ ıne que sa formulation math´ ematique (D) conduise `
a
un probl` eme bien pos´ e, c’est-` a-dire qui admette en particulier une solution et une
seule. Pour les ´
equations de Navier- Stokes, ces questions d’existence et d’unicit´ e
sont tr` es complexes ; seules quelques unes sont r´ esolues [14], [18], [33].
3.2 Conditions aux limites
Afin de trouver une solution particuli` ere d’un probl` eme pos´ e `
a partir des ´
equations
de continuit´ e, de quantit´ e de mouvement et de l’´ energie, il est n´ ecessaire de fixer les
conditions aux limites thermiques et m´ ecaniques ainsi que les conditions initiales
des diverses variables.
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
L’ensemble de cette formulation constitue la relation de d´ epart (D):
(D)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + f + ∇ ·
� μ
� ∇V + ∇
t
V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
R´ esoudre le probl` eme pos´ e par la relation de d´ epart (D) consiste `
a rechercher
en fonction des grandeurs connues les diverses grandeurs inconnues (ρ, V, p, T )
qui interviennent dans (D) ; l’ensemble des relations auxquelles on veut aboutir
constitue la relation finale (F).
Dans certains probl` emes physiques il peut arriver que l’on sache ´
ecrire la solution g´ en´ erale du probl` eme, c’est-` a-dire plus pr´ ecis´ ement la forme analytique que
doit prendre (F), ind´ ependamment des conditions initiales et des conditions limites
propres au probl` eme particulier ´
etudi´ e. Ce n’est pas le cas du syst` eme pr´ ec´ edent.
Nous sommes conduits `
a envisager deux types d’approches :
• 1 - Rechercher (F) ou tout au moins le plus de renseignements possibles sur (F),
en utilisant les propri´ et´ es de la totalit´ e de la relation de d´ epart (D) ; c’est l’objet de
l’analyse dimensionnelle et de la similitude qui permettent parfois d’obtenir des
solutions exactes et sont, de toute fac ¸on, d’importance capitale pour une ´
etude
exp´ erimentale, en d´ egageant la notion de param` etre de similitude.
• 2 - Rechercher, non plus (F) mais une approximation (F’) de (F) en partant d’une
relation de d´ epart approch´ ee (D’) plus commode ; c’est le but des m´ ethodes de
perturbation d’une part et des m´ ethodes num´ eriques d’autre part.
Quelle que soit l’approche retenue, nous supposerons toujours que la nature
physique du probl` eme entraˆ ıne que sa formulation math´ ematique (D) conduise `
a
un probl` eme bien pos´ e, c’est-` a-dire qui admette en particulier une solution et une
seule. Pour les ´
equations de Navier- Stokes, ces questions d’existence et d’unicit´ e
sont tr` es complexes ; seules quelques unes sont r´ esolues [14], [18], [33].
3.2 Conditions aux limites
Afin de trouver une solution particuli` ere d’un probl` eme pos´ e `
a partir des ´
equations
de continuit´ e, de quantit´ e de mouvement et de l’´ energie, il est n´ ecessaire de fixer les
conditions aux limites thermiques et m´ ecaniques ainsi que les conditions initiales
des diverses variables.