Chapitre 3
Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
Les ´
equations ne sont pas faites eclusivement pour ˆ
etre r´ esolues. La mod´ elisation
physique des ph´ enom` enes qui a permis l’´ etablissement des ´
equations de conservation conf` ere `
a celles-ci des propri´ et´ es qu’il convient d’analyser attentivement avant
toute r´ esolution. Une ´
equation de conservation comporte une somme de termes qui
ne sont pas forc´ ement du mˆ eme ordre de grandeur mais sans un travail pr´ ealable
d’analyse il est impossible d’en n´ egliger un par rapport aux autres. Une simple
analyse en ordre de grandeur des diff´ erentes variables du probl` eme permet sans
difficult´ e de pouvoir comparer chacun des termes aux autres afin de le supprimer
´
eventuellement et de simplifier l’´ equation.
Les solutions exactes d’un syst` eme d’´ equations simplifi´ ees ne constituent pas
des solutions du probl` eme r´ eel. Par exemple la solution de Blasius de la couche
limite laminaire n’est qu’une approximation grossi` ere pr` es du bord d’attaque, les
termes n´ eglig´ es lors de l’´ etablissement du mod` ele se r´ ev` elent importants dans cette
zone. Un mod` ele ´
etabli sur une d´ eg´ en´ erescence des ´
equations de la m´ ecanique des
fluides peut donner un comportement erron´ e physiquement; toute solution exacte
ne repr´ esente fid` element que le mod` ele qui lui a donn´ e naissance. Il est donc tr` es
important de garder `
a l’esprit toutes les approximations et hypoth` eses `
a l’origine
du mod` ele th´ eorique ´
etabli.
3.1 Syst` eme d’´ equations g´ en´ erales
Les m´ ethodes expos´ ees ici sont appliqu´ ees au cas des ´
ecoulements de fluides incompressibles et compressibles de fluide newtonien. Toutefois elles sont
d’une port´ ee tr` es g´ en´ erale et peuvent ˆ
etre utilis´ ees dans l’´ etude de tout ph´ enom` ene
physique.
La formulation de tout probl` eme physique consiste `
a ´
ecrire :
• les lois g´ en´ erales r´ egissant les ph´ enom` enes,
• les conditions aux limites et initiales du probl` eme particulier.
47
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_3,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
Les ´
equations ne sont pas faites eclusivement pour ˆ
etre r´ esolues. La mod´ elisation
physique des ph´ enom` enes qui a permis l’´ etablissement des ´
equations de conservation conf` ere `
a celles-ci des propri´ et´ es qu’il convient d’analyser attentivement avant
toute r´ esolution. Une ´
equation de conservation comporte une somme de termes qui
ne sont pas forc´ ement du mˆ eme ordre de grandeur mais sans un travail pr´ ealable
d’analyse il est impossible d’en n´ egliger un par rapport aux autres. Une simple
analyse en ordre de grandeur des diff´ erentes variables du probl` eme permet sans
difficult´ e de pouvoir comparer chacun des termes aux autres afin de le supprimer
´
eventuellement et de simplifier l’´ equation.
Les solutions exactes d’un syst` eme d’´ equations simplifi´ ees ne constituent pas
des solutions du probl` eme r´ eel. Par exemple la solution de Blasius de la couche
limite laminaire n’est qu’une approximation grossi` ere pr` es du bord d’attaque, les
termes n´ eglig´ es lors de l’´ etablissement du mod` ele se r´ ev` elent importants dans cette
zone. Un mod` ele ´
etabli sur une d´ eg´ en´ erescence des ´
equations de la m´ ecanique des
fluides peut donner un comportement erron´ e physiquement; toute solution exacte
ne repr´ esente fid` element que le mod` ele qui lui a donn´ e naissance. Il est donc tr` es
important de garder `
a l’esprit toutes les approximations et hypoth` eses `
a l’origine
du mod` ele th´ eorique ´
etabli.
3.1 Syst` eme d’´ equations g´ en´ erales
Les m´ ethodes expos´ ees ici sont appliqu´ ees au cas des ´
ecoulements de fluides incompressibles et compressibles de fluide newtonien. Toutefois elles sont
d’une port´ ee tr` es g´ en´ erale et peuvent ˆ
etre utilis´ ees dans l’´ etude de tout ph´ enom` ene
physique.
La formulation de tout probl` eme physique consiste `
a ´
ecrire :
• les lois g´ en´ erales r´ egissant les ph´ enom` enes,
• les conditions aux limites et initiales du probl` eme particulier.
47
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_3,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013