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2 Equations de conservation
Si l’´ ecart caract´ eristique de temp´ erature (T 1 − T 2 ) du syst` eme est suffisamment
faible pour pouvoir admettre que les variations de k en fonction de T sont aussi
faibles on peut d´ efinir une conductivit´ e moyenne :
k = k m =
1
(T 1 − T 2 )
T 2
T 1
k(T ) dT
Si la vitesse est nulle ainsi que la fonction de dissipation et la production on a :
∂ T
∂t
=
k
ρ c p
∇
2 T
La quantit´ e k/ρ c p est la diffusit´ e thermique du mat´ eriau.
2.6 Equations d’´ etat
D’une mani` ere g´ en´ erale, un probl` eme o` u coexistent des transferts coupl´ es de
quantit´ es de mouvements et d’´ energie thermique est caract´ eris´ e par la connaissance
des variables fonction des coordonn´ ees d’espace et du temps [20] ; ces variables
sont au nombre de 6 : la temp´ erature T , les trois composantes de la vitesse V , la
pression p et la masse volumique ρ. Les ´
equations sont au nombre de 5 : l’´ equation
de conservation de masse, les ´
equations de Navier-Stokes et l’´ equation de l’´ energie.
La loi d’´ etat du milieu permet de fermer le syst` eme. On peut distinguer deux lois
d’´ etat couramment utilis´ ees.
• Gaz parfait
La loi des gaz parfaits liant p, ρ, T :
p = ρ r T
est une bonne approximation du comportement des gaz r´ eels `
a basse pression et
haute temp´ erature.
• Fluide faiblement dilatable et compressible
Si les ´
ecarts de temp´ erature et de pression sont faibles l’´ equation d’´ etat du fluide
est d´ efinie comme une fonction lin´ eaire de la temp´ erature et de la pression :
ρ = ρ 0 (1 − β (T − T 0 ) + χ T (p − p 0 ))
o` u β est le coefficient de dilatation volumique, χ T est le coefficient de compressibilit´ e isotherme et T 0 une temp´ erature de r´ ef´ erence.
2 Equations de conservation
Si l’´ ecart caract´ eristique de temp´ erature (T 1 − T 2 ) du syst` eme est suffisamment
faible pour pouvoir admettre que les variations de k en fonction de T sont aussi
faibles on peut d´ efinir une conductivit´ e moyenne :
k = k m =
1
(T 1 − T 2 )
T 2
T 1
k(T ) dT
Si la vitesse est nulle ainsi que la fonction de dissipation et la production on a :
∂ T
∂t
=
k
ρ c p
∇
2 T
La quantit´ e k/ρ c p est la diffusit´ e thermique du mat´ eriau.
2.6 Equations d’´ etat
D’une mani` ere g´ en´ erale, un probl` eme o` u coexistent des transferts coupl´ es de
quantit´ es de mouvements et d’´ energie thermique est caract´ eris´ e par la connaissance
des variables fonction des coordonn´ ees d’espace et du temps [20] ; ces variables
sont au nombre de 6 : la temp´ erature T , les trois composantes de la vitesse V , la
pression p et la masse volumique ρ. Les ´
equations sont au nombre de 5 : l’´ equation
de conservation de masse, les ´
equations de Navier-Stokes et l’´ equation de l’´ energie.
La loi d’´ etat du milieu permet de fermer le syst` eme. On peut distinguer deux lois
d’´ etat couramment utilis´ ees.
• Gaz parfait
La loi des gaz parfaits liant p, ρ, T :
p = ρ r T
est une bonne approximation du comportement des gaz r´ eels `
a basse pression et
haute temp´ erature.
• Fluide faiblement dilatable et compressible
Si les ´
ecarts de temp´ erature et de pression sont faibles l’´ equation d’´ etat du fluide
est d´ efinie comme une fonction lin´ eaire de la temp´ erature et de la pression :
ρ = ρ 0 (1 − β (T − T 0 ) + χ T (p − p 0 ))
o` u β est le coefficient de dilatation volumique, χ T est le coefficient de compressibilit´ e isotherme et T 0 une temp´ erature de r´ ef´ erence.