2.5 Conservation de l’ Energie
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Le tenseur du second ordre Λ est appel´ e tenseur de conductivit´ e thermique. Si le
corps est homog` ene, le tenseur rep´ er´ e dans ses directions propres se r´ eduit `
a trois
termes non nuls sur la diagonale . Si le corps est isotrope, le tenseur est sph´ erique :
Λ = kI
La conductivit´ e thermique k (scalaire positif) est en g´ en´ eral une fonction de la
temp´ erature
ϕ = −k(T ) · ∇T
L’´ equation de l’´ energie s’´ ecrit en tenant compte de l’expression de la d´ eriv´ ee particulaire
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
ou bien :
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ 2μD i j
∂V i
∂ x j
−
2
3
μ (∇ · V)
2
Une autre forme de l’´ equation de l’´ energie peut ˆ
etre obtenue en remarquant que
:
d p
dt
=
∂ p
∂ ρ
T
dρ
dt
+
∂ p
∂ T
ρ
dT
dt
expression qui fait intervenir la chaleur sp´ ecifique `
a volume constant :
β T
∂ p
∂ T
ρ
= −
T
ρ
∂ ρ
∂ T
p
∂ p
∂ T
ρ
= ρ (c p − c v )
Soit enfin :
ρ c v
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= ∇ · (k∇T ) −
β
χ T
T ∇ · V + 2μD i j
∂ v i
∂ x j
−
2
3
μ (∇ · V)
2
Il est pr´ ef´ erable de laisser cette ´
equation de conservation de l’´ energie sous cette
forme mˆ eme si l’on peut remarquer que
∇ · (k∇T ) = k∇
2 T + ∇T · ∇k
et :
∇k(T ) =
dk
dT
∇T
∇ · (∇T ) = k∇
2 T +
dk
dT
(∇T )
2