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2 Equations de conservation
Et
ρ
de
dt
variation d´´ energie interne
= −∇ · ϕ
flux de chaleur
+ q
source
−
p ∇ · V
effet de compressibilit´ e
+ Φ
dissipation
Introduisons l’enthalpie par unit´ e de masse de fluide h = e + p/ρ:
ρ
de
dt
= ρ
dh
dt
− ρ
d
dt
p
ρ
d’o` u en reportant dans l’´ equation de l’´ energie :
ρ
dh
dt
= −∇ · ϕ + q + ρ
1
ρ
d p
dt
−
p
ρ 2
dρ
dt
−
p
ρ 2 (ρ∇ · V)
+ Φ
et
ρ
dh
dt
= −∇ · ϕ +
d p
dt
+ q −
p
ρ
dρ
dt
+ ρ∇ · V
+ Φ
Compte tenu de l’´ equation de continuit´ e, on obtient :
ρ
dh
dt
= −∇ · ϕ +
d p
dt
+ q + Φ
L’enthalpie ´
etant fonction de p et de T , on a :
dh
dt
=
∂ h
∂ T
p
dT
dt
+
∂ h
∂ p
T
d p
dt
La thermodynamique fournit les relations :
∂ h
∂ T
p
= c p ;
∂ h
d p
T
=
1
ρ
(1 − β T ) avec β = −
1
ρ
∂ ρ
∂ T
p
β est le coefficient d’expansion thermique, ou de dilatation cubique `
a pression constante.
D’o` u la forme finale de l’´ equation de l’´ energie :
ρ c p
∂ T
∂t
+ V · ∇T
= −∇ · ϕ + β T
d p
dt
+ q + Φ
Expression de ϕ ; loi de Fourier.
Le flux de chaleur ϕ s’exprime `
a l’aide de la loi ph´ enom´ enologique de Fourier
liant les flux aux forces repr´ esent´ ees par les gradients de temp´ erature
ϕ = −Λ · ∇T