2.5 Conservation de l’ Energie
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ρ
d
dt
V
2 /2
= V · ∇ · σ + f · V = 0
mais comme
V · ∇ · σ = ∇ · (V · σ ) − tr (σ · ∇V)
il vient comme σ i j = σ ji :
ρ
d
dt
V
2 /2
= ∇ · (σ · V) − tr (σ · ∇V) + f · V
Par soustraction :
ρ
de
dt
= −∇ · ϕ + tr (σ · ∇V) + q
Soit sous forme indicielle :
ρ
de
dt
= −∇ · ϕ + q + σ i j
∂V i
∂ x j
Le dernier terme s’´ ecrit :
σ i j
∂V i
∂ x j
=
−pδ i j −
2
3
μ∇ · Vδ i j + 2μD i j
∂V i
∂ x j
avec
D i j =
1
2
∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
ou
σ i j
∂V i
∂ x j
= −p∇ · V −
2
3
μ (∇ · V)
2 + 2μD i j
∂V i
∂ x j
= −p∇ · V + Φ
La fonction Φ, regroupant les termes contenant la viscosit´ e est dite fonction de
dissipation. Elle est reli´ ee `
a la d´ egradation de l’´ energie cin´ etique en chaleur, du fait
des frottements visqueux au sein du fluide.
Φ = −
2
3
μ (∇ · V)
2 + 2μD i j
∂V i
∂ x j
Dans un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes :
Φ = −
2
3
μ (∇ · V)
2 + 2μ
∂V 1
∂ x 1
2
+
∂V 2
∂ x 2
2
+
∂V 3
∂ x 3
2
+μ
∂V 2
∂ x 1
+
∂V 1
∂ x 2
2
+ μ
∂V 3
∂ x 2
+
∂V 2
∂ x 3
2
+ μ
∂V 1
∂ x 3
+
∂V 3
∂ x 1
2