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2 Equations de conservation
2.5 Conservation de l’ Energie
La quantit´ e intensive A est ici l’´ energie totale sp´ ecifique ρ(e + V 2 /2) o` u e
est l’´ energie interne massique et V 2 /2 est l’´ energie cin´ etique par unit´ e de masse ;
la quantit´ e extensive K est alors l’´ energie totale du syst` eme . Seuls les ´
echanges
d’´ energie d’origines m´ ecaniques et calorifiques sont pris en compte.
La m´ ecanique des fluides est en fait ´
etroitement associ´ ee `
a la thermique. En
effet les variations de pression dans un fluide, les frottements visqueux engendrent
in´ eluctablement des variations de l’´ energie interne et conduisent `
a une variation
locale de la temp´ erature du fluide donc modifient son mouvement.
Le premier principe de la thermodynamique montre que la d´ eriv´ ee temporelle
dE/dt de l’´ energie totale est ´
egale `
a la somme de la puissance des forces ext´ erieures
et de la puissance calorifique rec ¸ue (par la surface Σ ou produite par unit´ e de temps
et de volume).
dE
dt
= P e + P c
soit
d
dt
Ω
ρ
e + V
2 /2
dv =
Ω
f · V dv +
Σ
(σ · n) · V ds +
Ω
q dv −
Σ
ϕ · n ds
q(x,t) est la production volumique d’´ energie calorifique due par exemple au rayonnement absorb´ e `
a l’int´ erieur de Ω , `
a l’effet Joule, avec d´ esint´ egrations atomiques,
ϕ est la densit´ e de flux de chaleur rec ¸ue `
a travers Σ par convection, par conduction
ou rayonnement arrˆ et´ e en surface dans le cas de corps opaques ; f est une force
volumique.
En utilisant l’expression int´ egrale de l’´ equation de continuit´ e et le th´ eor` eme de
la divergence, il vient :
Ω
ρ
d
dt
e + V
2 /2
− f · V − ∇ · (σ · V) − q + ∇ · ϕ
dv = 0
En supposant la continuit´ e de la fonction sous le signe somme, la relation est
valable quel que soit le domaine Ω consid´ er´ e. L’expression locale est ainsi :
ρ
d
dt
e + V
2 /2
= −∇ · ϕ + ∇ · (σ · V) + q + f · V = 0
Cette ´
equation peut ˆ
etre simplifi´ ee en consid´ erant la loi de Cauchy multipli´ ee
scalairement par V :
V ·
ρ
dV
dt
− ∇ · σ − f
= 0
soit