2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
41
Dans le cas o` u les coefficients de viscosit´ e peuvent ˆ
etre consid´ er´ es comme des
constantes, on a :
∇ · D =
1
2
∇ · ∇V +
1
2
∇∇ · V
et
∇ · σ = −∇p + (λ + μ)∇∇ · V + μ∇
2
V
d’o` u l’´ equation correspondante :
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + f + μ∇
2
V + (λ + μ)∇ (∇ · V)
L’´ equation de Navier-Stokes ´
etablie ci-dessus est repr´ esentative des ´
ecoulements
de fluides visqueux dans toutes les situations o` u, bien entendu, les hypoth` eses de
base ne sont pas mises en d´ efaut et notamment celle correspondant `
a la notion de
milieu continu. Il est donc important de garder ces hypoth` eses et approximations `
a
l’esprit avant toute utilisation de l’´ equation de Navier-Stokes. Celle-ci ne poss` ede
pas de solution g´ en´ erale et sa validit´ e n’a pas ´
et´ e d´ emontr´ ee mais l’inverse non plus
d’ailleurs. Son utilisation depuis pr` es d’un si` ecle n’a cess´ e de montrer sa validit´ e.
Elle contient les non-lin´ earit´ es essentielles `
a l’apparition de bifurcations multiples
qui conduisent au chaos et `
a la turbulence qu’elle est aussi apte `
a reproduire.
Une forme ´
equivalente peut ˆ
etre donn´ ee en remarquant que :
∇p =
∂ p
∂ ρ
T
∇ρ +
∂ p
∂ T
ρ
∇T
soit :
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
∂ (ρ V)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = −
1
ρ χ T
∇ρ +
β
χ T
∇T + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
+ ∇ (λ ∇ · V)
o` u ρ, β et χ T sont respectivement la masse volumique, le coefficient de dilatation
et la compressibilit´ e isotherme.
Il est `
a remarquer que dans cette formulation la pression disparaˆ ıt compl` etement
et que seules les variables ρ, T d´ efinissent l’´ evolution du syst` eme de mani` ere
coh´ erente puisque, par exemple une variation de temp´ erature δ T dans un fluide
dilatable induit directement un mouvement de d´ etente ou de compression alors que
la pression ne serait modifi´ ee post´ erieurement que par la loi d’´ etat.
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Dans le cas o` u les coefficients de viscosit´ e peuvent ˆ
etre consid´ er´ es comme des
constantes, on a :
∇ · D =
1
2
∇ · ∇V +
1
2
∇∇ · V
et
∇ · σ = −∇p + (λ + μ)∇∇ · V + μ∇
2
V
d’o` u l’´ equation correspondante :
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + f + μ∇
2
V + (λ + μ)∇ (∇ · V)
L’´ equation de Navier-Stokes ´
etablie ci-dessus est repr´ esentative des ´
ecoulements
de fluides visqueux dans toutes les situations o` u, bien entendu, les hypoth` eses de
base ne sont pas mises en d´ efaut et notamment celle correspondant `
a la notion de
milieu continu. Il est donc important de garder ces hypoth` eses et approximations `
a
l’esprit avant toute utilisation de l’´ equation de Navier-Stokes. Celle-ci ne poss` ede
pas de solution g´ en´ erale et sa validit´ e n’a pas ´
et´ e d´ emontr´ ee mais l’inverse non plus
d’ailleurs. Son utilisation depuis pr` es d’un si` ecle n’a cess´ e de montrer sa validit´ e.
Elle contient les non-lin´ earit´ es essentielles `
a l’apparition de bifurcations multiples
qui conduisent au chaos et `
a la turbulence qu’elle est aussi apte `
a reproduire.
Une forme ´
equivalente peut ˆ
etre donn´ ee en remarquant que :
∇p =
∂ p
∂ ρ
T
∇ρ +
∂ p
∂ T
ρ
∇T
soit :
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
∂ (ρ V)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = −
1
ρ χ T
∇ρ +
β
χ T
∇T + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
+ ∇ (λ ∇ · V)
o` u ρ, β et χ T sont respectivement la masse volumique, le coefficient de dilatation
et la compressibilit´ e isotherme.
Il est `
a remarquer que dans cette formulation la pression disparaˆ ıt compl` etement
et que seules les variables ρ, T d´ efinissent l’´ evolution du syst` eme de mani` ere
coh´ erente puisque, par exemple une variation de temp´ erature δ T dans un fluide
dilatable induit directement un mouvement de d´ etente ou de compression alors que
la pression ne serait modifi´ ee post´ erieurement que par la loi d’´ etat.