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2 Equations de conservation
• un taux de d´ eformation moyen induit une constante de temps du changement
de l’´ etat de contrainte thermodynamique moyen par l’interm´ ediaire des relations
thermodynamiques. Cel` a induit une contrainte visqueuse pour les fluides qui ne
satisfont pas l’hypoth` ese de Stokes,
• un taux de d´ eformation n’induit pas directement une contrainte moyenne,
• une d´ eformation de cisaillement induit directement une contrainte de cisaillement,
• une d´ eformation moyenne n’introduit de production d’entropie que si le fluide
n’ob´ eit pas `
a l’hypoth` ese de Stokes,
• une d´ eformation de cisaillement induit toujurs une production d’entropie pour un
fluide visqueux.
Comme on peut le constater la notion de pression est complexe; la vision simple
o` u la pression thermodynamique induit une force normale `
a la surface et o` u les
forces visqueuses induisent des forces tangentielles est trop simpliste.
2.4.12 Equation de Navier-Stokes
Comme la controverse ancienne de 150 ans sur la validit´ e de l’hypoth` ese de
Stokes n’est pas encore ferm´ ee nous garderont les deux coefficients λ et μ dans la
formulation finale de l’´ equation du mouvement.
L’´ equation de Cauchy s’´ ecrit :
ρ γ = f + ∇ · σ
Le terme ∇ · σ devient, compte tenu de la loi de comportement :
∇ · σ = −∇p + ∇ (λ ∇ · V) + ∇ · (2μD)
L’introduction de la loi de comportement dans la loi de Cauchy donne pour un fluide
newtonien visqueux :
ρ γ = −∇p + f + ∇ (λ ∇ · V) + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
On obtient finalement l’´ equation de Navier-Stokes:
ρ
∂ V
∂t
+ V · ∇V
= −∇p + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
+ ∇ (λ ∇ · V)
L’´ equation de conservation de la masse est utilis´ ee pour passer `
a la forme dite
conservative de l’´ equation de Navier-Stokes :
∂ (ρ V)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = −∇p + f + ∇ ·
μ
∇V + ∇
t
V
+ ∇ (λ ∇ · V)