2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
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2.4.11 Hypoth` ese de Stokes et pressions m´ ecanique et
thermodynamique
Est-ce que le second coefficient de viscosit´ e ou viscosit´ e de compression λ est ´
egal
`
a −2/3 μ?
La r´ eponse `
a cette question est non, non en g´ en´ eral.
Il est possible de mesurer μ le premier coefficient de viscosit´ e mais toujours tr` es
incertain de mesurer λ le second coefficient de viscosit´ e.
G.G. Stokes, en 1845, suggerait que la pression m´ ecanique (d´ eduite de la contrainte moyenne normale) est ´
egale `
a la pression thermodynamique p. Cel` a a pour
cons´ equence que τ ii = 0 et:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2 μ
∂V i
∂ x i
+ λ
∂V k
∂ x k
δ i j = 0
2 μ
∂V i
∂ x i
+ 3 λ
∂V k
∂ x k
= 0
2 μ
∂V i
∂ x i
+ 3 λ
∂V i
∂ x i
= 0
(2 μ + 3 λ )
∂V i
∂ x i
= 0
soit
(2 μ + 3 λ ) ∇ · V = 0
Comme en g´ en´ eral la divergence n’est pas nulle, l’hypoth` ese de Stokes implique
λ = −
2
3
μ
Traditionnellement, dans le cas d’un ´
ecoulement incompressible, la divergence
´
etant nulle, tous les auteurs s’accordent pour dire que λ ne joue aucun rˆ ole. Cette
assertion ne vaut que si le second coefficient dit de viscosit´ e garde une valeur finie.
Il n’en reste pas moins vrai que cette relation est d´ eduite d’une hypoth` ese non
strictement v´ erifi´ ee et que de nombreuses tentatives de mesure de λ conduisent `
a
des valeurs positives et de plusieurs ordres de grandeur `
a la valeur de μ.
Ce point n´ ecessite une discussion suppl´ ementaire pour pr´ eciser la gamme de
variation de λ .
Les r´ esultats pr´ ec´ edents sur les relations entre contraintes et taux de d´ eformations
moyens et d´ eviatoriques peuvent ˆ
etre synth´ etis´ es: