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2 Equations de conservation
2.4.10 Approche standard
L’´ etat de d´ eformation d’un fluide est caract´ eris´ e par le tenseur des vitesses de
d´ eformation et en chaque point et `
a chaque instant le tenseur des contraintes est une
fonction univoque du tenseur des vitesses de d´ eformation . La relation σ = f (D) est
de la forme :
σ i j = −p δ i j + λ ∇ · Vδ i j + 2μD = −p δ i j + τ i j
p scalaire fonction de point positif d´ efini comme ´
etant la pression thermodynamique.
λ , μ coefficients de viscosit´ e caract´ eristiques du fluide consid´ er´ e
.
λ coefficient de viscosit´ e de dilatation ou second coefficient de viscosit´ e,
.
μ coefficient de viscosit´ e de cisaillement.
σ i j = −p(ρ, T ) δ i j , pour un fluide au repos
σ i j = −p(V, Φ) δ i j , pour un fluide parfait
σ i j = −p(V, Φ) δ i j + τ i j , pour le cas general
On d´ efinira aussi la pression m´ ecanique p m comme l’oppos´ e de la moyenne des
contraintes normales :
p m = −
1
3
(σ 11 + σ 22 + σ 33 )
L’hypoth` ese de Stokes pr´ esume que la pression thermodynamique s’identifie `
a la
pression m´ ecanique
p = p m = −
1
3
σ ii
La th´ eorie cin´ etique des gaz permet de calculer les coefficients de viscosit´ e; pour
les gaz monoatomiques on montre que la viscosit´ e de volume (bulk viscosity) ξ est
un r´ eel strictement positif :
ξ ≥ λ +
2μ
3
Comme il est impossible pratiquement de mesurer cette viscosit´ e de volume la relation de Stokes permet de caract´ eriser λ en ´
egalant `
a z´ ero la viscosit´ e de volume
ξ = 0, soit :
3λ + 2μ = 0
D’apr` es la th´ eorie cin´ etique des gaz la relation de Stokes est v´ erifi´ ee pour des gaz
monoatomiques mais rien ne permet d’affirmer que cette relation est valable pour les
autres fluides. Des consid´ erations th´ eoriques sur le deuxi` eme coefficient de viscosit´ e
(de volume) peuvent ˆ
etre trouv´ ees dans l’ouvrage de Landau et Lifchitz.
2 Equations de conservation
2.4.10 Approche standard
L’´ etat de d´ eformation d’un fluide est caract´ eris´ e par le tenseur des vitesses de
d´ eformation et en chaque point et `
a chaque instant le tenseur des contraintes est une
fonction univoque du tenseur des vitesses de d´ eformation . La relation σ = f (D) est
de la forme :
σ i j = −p δ i j + λ ∇ · Vδ i j + 2μD = −p δ i j + τ i j
p scalaire fonction de point positif d´ efini comme ´
etant la pression thermodynamique.
λ , μ coefficients de viscosit´ e caract´ eristiques du fluide consid´ er´ e
.
λ coefficient de viscosit´ e de dilatation ou second coefficient de viscosit´ e,
.
μ coefficient de viscosit´ e de cisaillement.
σ i j = −p(ρ, T ) δ i j , pour un fluide au repos
σ i j = −p(V, Φ) δ i j , pour un fluide parfait
σ i j = −p(V, Φ) δ i j + τ i j , pour le cas general
On d´ efinira aussi la pression m´ ecanique p m comme l’oppos´ e de la moyenne des
contraintes normales :
p m = −
1
3
(σ 11 + σ 22 + σ 33 )
L’hypoth` ese de Stokes pr´ esume que la pression thermodynamique s’identifie `
a la
pression m´ ecanique
p = p m = −
1
3
σ ii
La th´ eorie cin´ etique des gaz permet de calculer les coefficients de viscosit´ e; pour
les gaz monoatomiques on montre que la viscosit´ e de volume (bulk viscosity) ξ est
un r´ eel strictement positif :
ξ ≥ λ +
2μ
3
Comme il est impossible pratiquement de mesurer cette viscosit´ e de volume la relation de Stokes permet de caract´ eriser λ en ´
egalant `
a z´ ero la viscosit´ e de volume
ξ = 0, soit :
3λ + 2μ = 0
D’apr` es la th´ eorie cin´ etique des gaz la relation de Stokes est v´ erifi´ ee pour des gaz
monoatomiques mais rien ne permet d’affirmer que cette relation est valable pour les
autres fluides. Des consid´ erations th´ eoriques sur le deuxi` eme coefficient de viscosit´ e
(de volume) peuvent ˆ
etre trouv´ ees dans l’ouvrage de Landau et Lifchitz.