2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
37
Φ =
2
3
μ
∂V 1
∂ x 1
−
∂V 2
∂ x 2
2
+
∂V 2
∂ x 2
−
∂V 3
∂ x 3
2
+
∂V 3
∂ x 3
−
∂V 1
∂ x 1
2
훀
+
λ +
2
3
μ
∂V 1
∂ x 1
+
∂V 2
∂ x 2
+
∂V 3
∂ x 3
2
+4 μ
∂V 1
∂ x 2
2
+
∂V 2
∂ x 3
2
+
∂V 3
∂ x 1
2
≥ 0
qui est la somme de carr´ es qui peut aussi s’´ ecrire de mani` ere plus compacte:
Φ = 2 μ
∂V i
∂ x j
−
1
3
∂V k
∂ x k
δ i j
∂V i
∂ x j
−
1
3
∂V m
∂ x m
δ i j
+
2
3
𚶀
λ +
2
3
μ
∂V i
∂ x i
∂V j
∂ x j
≥ 0
Cette expression montre que pour un fluide Newtonien l’accroissement d’entropie
par dissipation visqueuse est due `
a deux contributions, les effets des contraintes de
cisaillement et la contrainte moyenne. Tant que les coefficients satisfont μ ≥ 0 et
λ ≥ −2/3 μ, le second principe reste satisfait.
L’expression de l’in´ egalit´ e de l’entropie peut ˆ
etre aussi ´
ecrite en termes d’invariants
principaux, on trouve:
Φ = 2 μ
2
3
I
1
T
2 − 2 I
2
T
+
λ +
2
3
μ
I
1
T
2 ≥ 0
S’´ ecrivant en termes d’invariants, Φ est donc ind´ ependant de l’orientation du
syst` eme de coordonn´ ees.
Afin de montrer que cette forme est d´ efinie positive, elle peut ˆ
etre r´ e-´ ecrite sous
la forme :
Φ = 2 μ
∂V i
∂ x j
∂V j
∂ x i
−
1
3
∂V i
∂ x i
∂V j
∂ x j
+
λ +
2
3
μ
∂V i
∂ x i
∂V j
∂ x j
≥ 0
En int´ egrant les valeurs propres du tenseur des d´ eformations κ:
Φ = 2 μ
κ
2
1 + κ
2
2 + κ
2
3 −
1
3
(κ 1 + κ 2 + κ 3 )
2
+
λ +
2
3
μ
(κ 1 + κ 2 + κ 3 )
2 ≥ 0
qui se r´ eduit `
a une forme semi-d´ efinie positive:
Φ =
2
3
μ
(κ 1 − κ 2 )
2 + (κ 1 − κ 3 )
2 + (κ 2 − κ 3 )
2
+
λ +
2
3
μ
(κ 1 + κ 2 + κ 3 )
2 ≥ 0
Comme les valeurs propres sont invariantes en rotation, cette forme est invariante.