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2 Equations de conservation
Finalement, pour un syst` eme bidimensionnel on trouve
⎧
⎨
⎩
μ ≥ 0
λ ≥ −μ
L` a aussi si l’hypoth` ese de Stokes est adopt´ ee alors l’in´ egalit´ e est satisfaite.
2.4.9.3 Syst` eme `
a trois dimensions
En dimension trois la forme quadratique devient:
Φ =
� d 11 d 22 d 33 d 12 d 23 d 31
�
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 μ + λ
λ
λ
0 0 0
λ
2 μ + λ
λ
0 0 0
λ
λ
2 μ + λ 0 0 0
0
0
0
4μ 0 0
0
0
0
0 4μ 0
0
0
0
0 0 4μ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
d 11
d 22
d 33
d 12
d 23
d 31
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
≥ 0
Les six valeurs propres permettant de satisfaire l’in´ egalit´ e sur l’entropie sont:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
κ = 2 μ
κ = 2 μ
κ = 4 μ
κ = 4 μ
κ = 4 μ
κ = 2 μ + 3 λ
Pour que toutes les valeurs propres soient positives il faut
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
μ ≥ 0
λ ≥ −
2
3
μ
En cons´ equence un fluide qui satisfait `
a l’hypoth` ese de Stokes ne viole pas le
principe du minimum de dissipation.
Apr` es de nombreuses manipulations, l’in´ egalit´ e sur l’entropie peut prendre la
forme suivante: