2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
35
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2 μ
∂V 1
∂ x 1
∂V 1
∂ x 1
+ λ
∂V 1
∂ x 1
∂V 1
∂ x 1
≥ 0
2 μ + λ ≥ 0
soit λ ≥ −2 μ.
Si l’hypoth` ese de Stokes est adopt´ ee l’´ en´ egalit´ e sur l’entropie est satisfaite.
2.4.9.2 Syst` eme `
a deux dimensions
En exprimant la contrainte en 2D:
2 μ
∂V 1
∂ x 1
∂V 1
∂ x 1
+ 2 μ
∂V 1
∂ x 2
∂V 1
∂ x 2
+ 2 μ
∂V 2
∂ x 1
∂V 2
∂ x 1
+ 2 μ
∂V 2
∂ x 2
∂V 2
∂ x 2
+ λ
� ∂V 1
∂ x 1
+
∂V 2
∂ x 2
� � ∂V 1
∂ x 1
+
∂V 2
∂ x 2
�
≥ 0
En tenant compte de la sym´ etrie du tenseur des taux de d´ eformations, on peut ´
ecrire
:
(2 μ + λ )
∂V 1
∂ x 1
∂V 1
∂ x 1
+ 4 μ
∂V 1
∂ x 2
∂V 1
∂ x 2
+ (2 μ + λ )
∂V 2
∂ x 2
∂V 2
∂ x 2
+ 2 λ
∂V 1
∂ x 1
∂V 2
∂ x 2
≥ 0
Sous forme matricielle cette inn´ egalit´ e prend une forme quadratique:
Φ =
� ∂V 1
∂ x 1
∂V 2
∂ x 2
∂V 1
∂ x 2
�
⎛
⎝
2 μ + λ
λ
0
λ
2 μ + λ 0
0
0
4μ
⎞
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂V 1
∂ x 1
∂V 2
∂ x 2
∂V 1
∂ x 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
≥ 0
Pour satisfaire cette in´ egalit´ e il est n´ ecessaire que la matrice ait des valeurs propres
positives:
�
�
�
�
�
�
2 μ + λ − κ
λ
0
λ
2 μ + λ − κ
0
0
0
4μ − κ
�
�
�
�
�
�
= 0
Le polynome caract´ eristique
(4 μ − κ)
�
(2 μ + λ − κ)
2 − λ
2
�
= 0
donne les valeurs propres:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
κ = 4 μ
κ = 4 μ
κ = 2 (μ + λ )