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2 Equations de conservation
σ i j =
−p + λ
∂V k
∂ x k
훀
δ i j + μ
훀 ∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
훀
ou encore
σ = (−p + λ ∇ · V) I + μ
∇V + ∇
t
V
Le premier terme est ainsi isotrope et comme le tenseur I ´
etant invariant par rotation
on peut en d´ eduire que la contrainte est lin´ eaire en fonction du taux de d´ eformation.
2.4.9 Application du second principe de la thermodynamique
Le second principe de la thermodynamique conduit `
a l’in´ egalit´ e de Clausius-Duhem
qui s’´ ecrit:
1
T
τ : D −
1
T 2 ϕ · ∇T ≥ 0
o` u ϕ est le flux de chaleur.
Si l’on admet que le vecteur flux de chaleur ne d´ epend pas de D et que le tenseur
τ ne d´ epend pas de ∇T on doit alors assurer la positivit´ e des deux dissipations
m´ ecanique et thermique.
En ´
ecrivant donc le principe de positivit´ e de la puissance des efforts internes
m´ ecaniques on a:
1
T
τ i j
∂V i
∂ x j
≥ 0
Comme la temp´ erature thermodynamique est positive on peut calculer la puissance
des effets de viscosit´ e interne:
Φ =
μ
∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
+ λ
∂V k
∂ x k
δ i j
∂V i
∂ x j
≥ 0
qui est le taux de dissipation de l’´ energie cin´ etique au sein d’un syst` eme.
Cette expression est la somme de deux carr´ es. Si μ et λ sont tous deux positifs
alors cette contrainte est satisfaite. Examinons, dans quelles conditions pour ces
deux param` etres, ce principe est satisfait.
2.4.9.1 Syst` eme `
a une dimension
La seconde loi de la thermodynamique exprim´ ee plus haut devient en 1D :