2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
33
En m´ ecanique des solides ´
elastiques on aurait de mˆ eme, pour un mat´ eriau
isotrope pour lequel il existe une lin´ earit´ e entre contraintes et d´ eformations, deux
coefficients ind´ ependants, le module ´
elastique et le module de cisaillement.
En tenant compte de la sym´ etrie du tenseur des contraintes de Cauchy, la relation
s’´ ecrit finalement:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
τ 11
τ 22
τ 33
τ 12
τ 23
τ 31
τ 21
τ 32
τ 13
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 μ + λ
λ
λ
0 0 0 0 0 0
λ
2 μ + λ
λ
0 0 0 0 0 0
λ
λ
2 μ + λ 0 0 0 0 0 0
0
0
0
μ 0 0 μ 0 0
0
0
0
0 μ 0 0 μ 0
0
0
0
0 0 μ 0 0 μ
0
0
0
μ 0 0 μ 0 0
0
0
0
0 μ 0 0 μ 0
0
0
0
0 0 μ 0 0 μ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
d 11
d 22
d 33
d 12
d 23
d 31
d 21
d 32
d 13
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Ou bien en ´
ecriture synth´ etique:
τ i j = 2 μ d i j + λ
∂V k
∂ x k
δ i j
ou encore
τ = 2 μ D + λ ∇ · V I
o` u D est le tenseur des taux de d´ eformation:
D =
1
2
� ∇V + ∇
t
V
�
Ce tenseur des contraintes visqueuses peut ˆ
etre r´ e´ ecrit apr` es quelques manipulations:
τ = (2 μ + 3 λ )
1
3
∇ · V I + 2 μ
� 1
2
�
∇V + ∇
t
V
�
−
1
3
∇ · V I
�
Le premier terme au second membre repr´ esente la contrainte visqueuse exerc´ ee
par le changement de volume et le second terme est le d´ eviateur des contraintes
visqueuses.
Nous pouvons former la contrainte moyenne, ind´ ependante de la direction, par
contraction du tenseur des contraintes visqueuses:
1
3
τ ii = (2 μ + 3 λ )
∂V k
∂ x k
Ce scalaire est ´
egal `
a z´ ero si λ = −2/3 μ.
Le tenseur des contraintes s’´ ecrit donc: