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2 Equations de conservation
avec seulement 3 coefficients ind´ ependants.
• Rotation de 45 ◦ autour de x 3
Pour cette transformation les cosinus directeurs s’´ ecrivent :
l i j =
⎛
⎝
√ 2/2 −
√
2/2 0
√
2/2
√
2/2 0
0
0
1
⎞
⎠
Apr` es la transformation, la matrice C devient:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
C 12 +C 44
C 12
C 12
0 0 0
C 12
C 12 +C 44
C 12
0 0 0
C 12
C 12
C 12 +C 44 0 0 0
0
0
0
C 44 0 0
0
0
0
0 C 44 0
0
0
0
0 0 C 44
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
avec seulement 2 coefficients ind´ ependants.
Aucune autre transformation ne permet de r´ eduire encore le nombre de coefficients dans la matrice C. La r´ eduction est compl` ete.
Pour une fluide Newtonien isotrope seuls deux coefficients ind´ ependants permettent d’´ ecrire la relation entre tenseur des contrainte et tenseur des taux de
d´ eformation.
Soit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
τ 11 = C 44 d 11 +C 12 ( d 11 + d 22 + d 33 )
τ 22 = C 44 d 22 +C 12 ( d 11 + d 22 + d 33 )
τ 33 = C 44 d 33 +C 12 ( d 11 + d 22 + d 33 )
τ 12 = C 44 d 12
τ 23 = C 44 d 23
τ 31 = C 44 d 31
On reconnait la divergence de la vitesse associ´ e au coefficient C 12 . En utilisant
les notations traditionnelles on obtient:
• C 44 = 2 μ, o` u μ est appel´ e premier coefficient de viscosit´ e ou viscosit´ e de cisaillement et
• C 12 = λ , o` u λ est appel´ e second coefficient de viscosit´ e ou viscosit´ e de compression.