2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
29
En fait cette derni` ere expression n’est vrai que si la vitesse est nulle et que si p
est la pression thermodynamique `
a l’´ equilibre.
Nous adopterons une autre alternative, celle qui consid` ere que cette pression
est la pression thermodynamique `
a l’´ etat d’´ equilibre du syst` eme p equ . Toute modification de l’´ etat du syst` eme, qu’elle qu’en soit la cause, doit ˆ
etre accompagn´ ee
d’un r´ etablissement de l’´ equilibre thermodynamique et donc de la pression. Nous
verrons plus loin quels sont les termes de l’´ equation du mouvement qui permettront
de revenir `
a la pression d’´ equilibre p equ .
Reprenons la relation lin´ eaire entre σ i j et C i jkl ; Deux observateurs situ´ es dans des
rep` eres diff´ erents A et A
� mesurant les composantes du tenseur C doivent obtenir le
mˆ eme r´ esultat pour un fluide isotrope. Nous allons montrer (par exemple d’apr` es
R. Aris[1] ou S. Whitaker[37]) que seuls deux coefficients non nuls sur les 81 sont
distincts.
Tout d’abord notons la sym´ etrie de la relation entre tenseur des contraintes
visqueuses et le taux de d´ eformation. Ces deux tenseurs sont eux-mˆ emes sym´ etriques
comme initialement le tenseur de Cauchy. La sym´ etrie du tenseur de Cauchy
σ i j = σ ji a d´ ej` a ´
et´ e d´ emontr´ ee plus haut.
Les 81 composantes se r´ eduisent donc `
a 36. En adoptant une ´
ecriture matricielle
la relation de d´ epart devient :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
τ 11
τ 22
τ 33
τ 12
τ 23
τ 31
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16
C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26
C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36
C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46
C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56
C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
d 11
d 22
d 33
d 12
d 23
d 31
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En utilisant la propri´ et´ e tensorielle suivante :
τ
�
i j = l ki l l j τ kl
d
�
i j = l ki l l j d kl
soumettons le fluide `
a une s´ erie de rotations en v´ erifiant que le r´ esultat reste invariant.
• Rotation de 180 ◦ autour de x 3
Pour cette rotation x �
1 = −x 1 , x �
2 = −x 2 et x �
3 = x 3 . Les cosinus directeurs s’´ ecrivent
:
l ki =
⎛
⎝
l 11 = −1 l 12 = 0 l 13 = 0
l 21 = 0 l 22 = −1 l 23 = 0
l 31 = 0 l 32 = 0 l 33 = 1
⎞
⎠
Les contraintes visqueuses deviennent quant `
a elles :
τ
�
11 = l k1 l l1 τ
�
kl = (−1)
2
τ 11 = τ 11
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En fait cette derni` ere expression n’est vrai que si la vitesse est nulle et que si p
est la pression thermodynamique `
a l’´ equilibre.
Nous adopterons une autre alternative, celle qui consid` ere que cette pression
est la pression thermodynamique `
a l’´ etat d’´ equilibre du syst` eme p equ . Toute modification de l’´ etat du syst` eme, qu’elle qu’en soit la cause, doit ˆ
etre accompagn´ ee
d’un r´ etablissement de l’´ equilibre thermodynamique et donc de la pression. Nous
verrons plus loin quels sont les termes de l’´ equation du mouvement qui permettront
de revenir `
a la pression d’´ equilibre p equ .
Reprenons la relation lin´ eaire entre σ i j et C i jkl ; Deux observateurs situ´ es dans des
rep` eres diff´ erents A et A
� mesurant les composantes du tenseur C doivent obtenir le
mˆ eme r´ esultat pour un fluide isotrope. Nous allons montrer (par exemple d’apr` es
R. Aris[1] ou S. Whitaker[37]) que seuls deux coefficients non nuls sur les 81 sont
distincts.
Tout d’abord notons la sym´ etrie de la relation entre tenseur des contraintes
visqueuses et le taux de d´ eformation. Ces deux tenseurs sont eux-mˆ emes sym´ etriques
comme initialement le tenseur de Cauchy. La sym´ etrie du tenseur de Cauchy
σ i j = σ ji a d´ ej` a ´
et´ e d´ emontr´ ee plus haut.
Les 81 composantes se r´ eduisent donc `
a 36. En adoptant une ´
ecriture matricielle
la relation de d´ epart devient :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
τ 11
τ 22
τ 33
τ 12
τ 23
τ 31
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16
C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26
C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36
C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46
C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56
C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
d 11
d 22
d 33
d 12
d 23
d 31
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En utilisant la propri´ et´ e tensorielle suivante :
τ
�
i j = l ki l l j τ kl
d
�
i j = l ki l l j d kl
soumettons le fluide `
a une s´ erie de rotations en v´ erifiant que le r´ esultat reste invariant.
• Rotation de 180 ◦ autour de x 3
Pour cette rotation x �
1 = −x 1 , x �
2 = −x 2 et x �
3 = x 3 . Les cosinus directeurs s’´ ecrivent
:
l ki =
⎛
⎝
l 11 = −1 l 12 = 0 l 13 = 0
l 21 = 0 l 22 = −1 l 23 = 0
l 31 = 0 l 32 = 0 l 33 = 1
⎞
⎠
Les contraintes visqueuses deviennent quant `
a elles :
τ
�
11 = l k1 l l1 τ
�
kl = (−1)
2
τ 11 = τ 11