28
2 Equations de conservation
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
I
1
T = λ
1
+ λ
2
+ λ
3
I
2
T = λ
1
λ
2
+ λ
2
λ
3
+ λ
3
λ
1
I
1
T = λ
1
λ
2
λ
3
En g´ en´ eral pour un tenseur quelconque les valeurs propres sont complexes et les
vecteurs propres non n´ ecessairement orthogonaux. Toutefois, et c’est le cas du
tenseur de Cauchy, pour les tenseurs sym´ etriques les valeurs propres sont r´ eelles
et les vecteurs propres orthogonaux. Les vecteurs propres donnent les directions des
contraintes normales principales.
2.4.8 Fluide Newtonien isotrope
Pour aboutir `
a l’´ equation de Navier-Stokes `
a partir de la loi de Cauchy il est
n´ ecessaire d’´ ecrire les relations existantes entre tenseur des contraintes et tenseur
des taux de d´ eformations. Pour un fluide Newtonien cette relation est suppos´ ee
lin´ eaire :
σ i j = σ
0
i j +C i jkl d kl
o` u σ 0 est le tenseur des contraintes `
a l’´ etat de contrainte r´ esiduelle correspondant `
a
l’´ equilibre thermodynamique, C i jkl sont les 81 composantes du tenseur du quatri` eme
ordre C et D est le tenseur des taux de d´ eformations sym´ etrique:
d i j =
1
2
� ∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
�
En m´ ecanique du solide l’´ etat de contrainte est d´ efini `
a partir d’un ´
etat de
r´ ef´ erence non sollicit´ e et le tenseur σ 0 est par convention choisi `
a z´ ero. Pour les fluides l’´ etat de contrainte total caract´ eris´ e par σ i j varie en fonction de l’´ etat thermodynamique du syst` eme y compris `
a vitesses nulles. Par exemple lorsque la temp´ erature
ou la masse volumique varient, l’´ etat de contraintes du syst` eme ´
evolue aussi. Il est
donc n´ ecessaire de garder le terme σ 0 qui d´ ependra alors de la vitesse et du flux,
variables au cours du mouvement.
Si l’on note comme Batchelor[2] que la contrainte normale exerc´ ee sur un
´
el´ ement de surface doit ˆ
etre ind´ ependante de l’orientation de celle-ci alors il vient :
σ
0
i j = −p δ i j
o` u p est la pression thermodynamique fonction des variables d’´ etat. Elle apparait comme une inconnue suppl´ ementaire qui est traditionnellement corr´ el´ ee `
a
l’´ equation de conservation de la masse qui permet de la remonter et de fermer le
syst` eme d’´ equations.
2 Equations de conservation
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
I
1
T = λ
1
+ λ
2
+ λ
3
I
2
T = λ
1
λ
2
+ λ
2
λ
3
+ λ
3
λ
1
I
1
T = λ
1
λ
2
λ
3
En g´ en´ eral pour un tenseur quelconque les valeurs propres sont complexes et les
vecteurs propres non n´ ecessairement orthogonaux. Toutefois, et c’est le cas du
tenseur de Cauchy, pour les tenseurs sym´ etriques les valeurs propres sont r´ eelles
et les vecteurs propres orthogonaux. Les vecteurs propres donnent les directions des
contraintes normales principales.
2.4.8 Fluide Newtonien isotrope
Pour aboutir `
a l’´ equation de Navier-Stokes `
a partir de la loi de Cauchy il est
n´ ecessaire d’´ ecrire les relations existantes entre tenseur des contraintes et tenseur
des taux de d´ eformations. Pour un fluide Newtonien cette relation est suppos´ ee
lin´ eaire :
σ i j = σ
0
i j +C i jkl d kl
o` u σ 0 est le tenseur des contraintes `
a l’´ etat de contrainte r´ esiduelle correspondant `
a
l’´ equilibre thermodynamique, C i jkl sont les 81 composantes du tenseur du quatri` eme
ordre C et D est le tenseur des taux de d´ eformations sym´ etrique:
d i j =
1
2
� ∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
�
En m´ ecanique du solide l’´ etat de contrainte est d´ efini `
a partir d’un ´
etat de
r´ ef´ erence non sollicit´ e et le tenseur σ 0 est par convention choisi `
a z´ ero. Pour les fluides l’´ etat de contrainte total caract´ eris´ e par σ i j varie en fonction de l’´ etat thermodynamique du syst` eme y compris `
a vitesses nulles. Par exemple lorsque la temp´ erature
ou la masse volumique varient, l’´ etat de contraintes du syst` eme ´
evolue aussi. Il est
donc n´ ecessaire de garder le terme σ 0 qui d´ ependra alors de la vitesse et du flux,
variables au cours du mouvement.
Si l’on note comme Batchelor[2] que la contrainte normale exerc´ ee sur un
´
el´ ement de surface doit ˆ
etre ind´ ependante de l’orientation de celle-ci alors il vient :
σ
0
i j = −p δ i j
o` u p est la pression thermodynamique fonction des variables d’´ etat. Elle apparait comme une inconnue suppl´ ementaire qui est traditionnellement corr´ el´ ee `
a
l’´ equation de conservation de la masse qui permet de la remonter et de fermer le
syst` eme d’´ equations.