2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
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on a
���
Ω
(σ 32 − σ 23 ) dv = 0
pour tout Ω on a : σ 32 − σ 23 = 0.
Plus g´ en´ eralement
σ i j = σ ji
ou
σ = σ
t
Le tenseur des contraintes de Cauchy est sym´ etrique.
L’analyse tensorielle montre qu’il existe au moins une base orthonorm´ ee dans
laquelle la matrice des composantes du tenseur des contraintes est diagonale. Le
probl` eme aux valeurs propres s’´ ecrit:
n j σ i j = λ n i δ i j
o` u λ repr´ esente les valeurs propres.
n j (σ i j − λ δ i j ) = 0
ou
� n 1 n 2 n 3
�
⎛
⎝
σ 11 − λ σ 12
σ 13
σ 21 σ 22 − λ σ 23
σ 31
σ 32 σ 33 − λ
⎞
⎠ =
� 0 0 0
�
La condition qu’une solution non triviale puisse ˆ
etre trouv´ ee est que le d´ eterminant
de la matrice soit ´
egal `
a z´ ero.
Le polynˆ ome caract´ eristique est de la forme:
λ
3 − I
1
T λ
2
+ I
2
T λ − I
3
T = 0
o` u les I i
T sont des scalaires fonctions de toutes les composantes du tenseur des contraintes. Ils sont appel´ es les invariants du tenseur de Cauchy.
Ils sont ´
egaux `
a:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
I
1
T = σ ii = tr(σ )
I
2
T =
1
2
(σ ii σ j j − σ i j σ ji ) = det(σ ) tr(σ
−1
)
I
3
T = ε i jk σ 1i σ 2 j σ 3k = det(σ )
Ces invariants peuvent aussi s’exprimer `
a l’aide des valeurs propres: