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2 Equations de conservation
Ω
OM × ρ γ(M) dv =
Ω
OM × f(M) dv +
Σ
OM × T (P, n) ds
O est un point quelconque du domaine.
Par projection sur l’axe Ox 1 on a:
Ω
(x 2 ρ γ 3 − x 3 ρ γ 2 ) dv =
Ω
(x 2 f 3 − x 3 f 2 ) dv +
Σ
(x 2 T 3 − x 3 T 2 ) ds
avec T i = σ i j n j soit T 3 = σ 3 j n j et T 2 = σ 2 j n j , la relation s’´ ecrit:
Ω
(x 2 ρ γ 3 − x 3 ρ γ 2 ) dv =
Ω
(x 2 f 3 − x 3 f 2 ) dv +
Σ
(x 2 σ 3 j n j − x 3 σ 2 j n j ) ds
Le th´ eor` eme de la divergence permet de transformer l’int´ egrale de surface:
Σ
x 2 σ 3 j n j − x 3 σ 2 j n j
ds =
Ω
∂
∂ x j
x 2 σ 3 j − x 3 σ 2 j
dv
soit
=
Ω
∂
∂ x 1
(x 2 σ 31 − x 3 σ 21 ) dv +
Ω
∂
∂ x 2
(x 2 σ 32 − x 3 σ 22 ) dv +
Ω
∂
∂ x 3
(x 2 σ 33 − x 3 σ 23 ) dv
ou
=
Ω
x 2
∂ σ 31
∂ x 1
− x 3
∂ σ 21
∂ x 1
dv +
Ω
σ 32 + x 2
∂ σ 32
∂ x 2
− x 3
∂ σ 22
∂ x 2
dv
+
Ω
−σ 23 + x 2
∂ σ 33
∂ x 3
− x 3
σ 23
∂ x 3
dv
L’´ equation aux moments projet´ ee sur Ox 1 devient:
Ω
x 2
ρ γ 3 − f 3 −
∂ σ 31
∂ x 1
−
∂ σ 32
∂ x 2
−
∂ σ 33
∂ x 3
dv −
Ω
x 3
ρ γ 2 − f 2 −
∂ σ 21
∂ x 1
−
∂ σ 22
∂ x 2
−
∂ σ 23
∂ x 3
dv =
Ω
(σ 32 − σ 23 ) dv
Compte tenu de la loi de Cauchy:
ρ γ i = f i +
∂ σ i j
∂ x j
ou
ρ γ = f + ∇ · σ