2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
25
D est le tenseur des taux de d´ eformation, sym´ etrique par construction :
D i j =
1
2
∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
2.4.6 Tenseur des d´ eformations
On cherche `
a caract´ eriser la variation de longueur du segment infiniment petit M 0 M �
0 (Fig. 2.10) `
a partir du vecteur d´ eplacement X(M 0 ). Dans le cadre de
l’hypoth` ese des petites perturbations X est infiniment petit et on peut ´
ecrire :
Fig. 2.10 Evolution de la longueur d’un segment dans l’hypoth` ese des petites d´ eformations
X(M 0 ) ≈ X(M) = V(M)dt
dX(M 0 ) = dV(M)dt = ω × dM + Ddt · dM
et ε = Ddt
est le tenseur des d´ eformations :
ε i j =
1
2
∂ X i
∂ x j
+
∂ X j
∂ x i
2.4.7 Sym´ etrie du tenseur des contraintes
Le principe fondamental de la dynamique conduit `
a une expression sur la r´ esultante
des forces exerc´ es sur un volume mais aussi `
a une relation entre les moments des
torseurs dynamiques et les efforts ext´ erieurs qui s’´ ecrit: