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2 Equations de conservation
Fig. 2.9 Evolution d’un champ de vitesse V d’un ´
el´ ement de volume lorsque l’on suit une particule
au cours de son mouvement
On admet que le champ des vitesses est diff´ erentiable
dV = ∇V · MM
�
on peut ´
ecrire :
∇V = ∇ s V + ∇ as V
comme une somme d’une partie sym´ etrique et d’une autre anti-sym´ etrique.
∇ i j =
1
2
(∇ i j + ∇ ji ) +
1
2
(∇ i j − ∇ ji )
ou
∇ i j = D i j + Ω ji
soit dV = D · MM � + Ω · MM � o` u Ω est le tenseur des taux de rotation; ω est le
vecteur dual de Ω ou vecteur tourbillon.
On peut montrer que
Ω · MM
�
=
1
2
∇ × V × MM
�
= ω × MM
�
avec
ω =
1
2
∇ × V
V(M
�
) = V(M) + M
�
M × ω(M) + D · MM
�
Soit
V(M
�
) − V(M) = ω × MM
�
+ D · MM
�